operações com números inteiros

Adição de números inteiros

Preste bastante atenção nos sinais das operações abaixo!

Na adição de números inteiro é preciso muita atenção aos sinais dos números.

Na adição de Negativo + Positivo

A adição de um número negativo com um número positivo.

Exemplos:

1)-10+4= -6

2)-12+5= - 7

Na adição de Negativo + Negativo

Na adição de dois números positivos, o resultado é  negativo.

Exemplos:

1)-4+(-4) =-8

2)-2+(-1) =-3

3)-12+(-5) =-17

Obs: O sinal antes dos parênteses desaparece.

Na adição de Positivo + Positivo

Na adição de dois números positivos, o resultado é positivo.

Exemplos:

1)10+3=13

2)1+2=3

3)4 + 3 = 7

Na adição de Positivo + Negativo

Na adição de um número positivo com um número negativo, o resultado é  inferior ao número positivo

Exemplos:

1)1+(-2)=-1

2)4+(-3) = 1

3)20+(-10) = 10

Obs: O sinal antes dos parênteses desaparece.

Subtração de números inteiros

Preste bastante atenção nos sinais das operações abaixo!

Na subtração de números inteiro é preciso muita atenção aos sinais dos números.

Considere as seguintes combinações:

Na subtração de Positivo com Negativo

Na  subtraímos  de  número positivo com um número negativo, o resultado é sempre superior ao número positivo:

Exemplos:

1)        4-(-2) =6  ( 4 + 2 = 6)

2)        8-(-3) =11 (8 + 3 = 11)

 Obs: os sinais invertem –se.

Na subtração  de  Negativo com Positivo

Quando subtraímos um número negativo com um número positivo, o resultado é inferior ao número negativo: 

Exemplos:

1)-3-(+4) =-7

2)-8-(+10) =-10

Obs: O sinal dentro dos parênteses passa a não existir:

Na subtração de Negativo com Negativo

Na subtração de dois números negativos, o resultado é superior ao menor número negativo:

Exemplos:

-1-(-4) =3

-11-(-3) =-8

Na subtração de Positivo com Positivo

Quando subtraímos dois números positivos, o resultado é  inferior ao maior número:

Exemplos:

1)    3-4=-1

2)    8-5=3

3)    13-10=3

Multiplicação de números inteiros.

Na multiplicação de Negativo x Positivo

Na multiplicação de um número negativo com um número positivo,   o resultado é  negativo. 

Exemplos:

1)-3x4=-12

2)-2x5=-10

 Obs: Na multiplicação  - x + = -.

Na multiplicação de Negativo x Negativo

Na multiplicação de dois números negativos, o resultado é positivo.

Exemplos:

1)-1x(-2) = + 3

2)-3x(-5) =+15

Obs: Na multiplicação  - x - = +.

Na multiplicação de Positivo  x  Positivo

Na multiplicação de dois números positivos, o resultado é positivo.

Exemplos:

1)3x4 = 12

2)2x2 = 4

Obs: Na multiplicação + x + = +.

Na multiplicação de Positivo x Negativo

Na multiplicação de um número positivo com um número negativo, o resultado é negativo.

Exemplos:

1)3x(-2) = -9

2)5x(-3) = -15

 Obs: Na multiplicação + x - = - .

Divisão de números inteiros

Na divisão de Positivo / Negativo

Na divisão de um número positivo com um número negativo, o resultado é negativo.

Exemplos:

1)9/(-3) =-3

2)8/(-2) =-4

Obs: o sinal de negativo permanece.

Na divisão de Negativo / Positivo

Na divisão de um número negativo com um número positivo,  o resultado é  negativo.

Exemplos:

1)-4/2=-2

2)-6/2=-3

 Obs: o sinal de negativo permanece.

Na divisão de Negativo / Negativo

Na divisão de dois números negativos, o resultado é positivo.

Exemplos:

-4/(-2) =+2

-6/(-2) =+3

Obs: Na divisão -/- = +.

Na divisão de Positivo / Positivo

Na divisão de dois números positivos, o resultado é  positivo.

Exemplos:

1)4/2=2

2)6/3=2

Obs: Na divisão + / + = +.

por: Dan. S.

Adição de números inteiros

Adição de números inteiros

Preste bastante atenção nos sinais das operações abaixo!

Na adição de números inteiro é preciso muita atenção aos sinais dos números.

Na adição de Negativo + Positivo

A adição de um número negativo com um número positivo.

Exemplos:

1)-10+4= -6

2)-12+5= - 7

Na adição de Negativo + Negativo

Na adição de dois números positivos, o resultado é  negativo.

Exemplos:

1)-4+(-4) =-8

2)-2+(-1) =-3

3)-12+(-5) =-17

Obs: O sinal antes dos parênteses desaparece.

Na adição de Positivo + Positivo

Na adição de dois números positivos, o resultado é positivo.

Exemplos:

1)10+3=13

2)1+2=3

3)4 + 3 = 7

Na adição de Positivo + Negativo

Na adição de um número positivo com um número negativo, o resultado é  inferior ao número positivo

Exemplos:

1)1+(-2)=-1

2)4+(-3) = 1

3)20+(-10) = 10

Obs: O sinal antes dos parênteses desaparece.

Subtração de números inteiros

Subtração de números inteiros

Preste bastante atenção nos sinais das operações abaixo!

Na subtração de números inteiro é preciso muita atenção aos sinais dos números.

Considere as seguintes combinações:

Na subtração de Positivo com Negativo

Na  subtraímos  de  número positivo com um número negativo, o resultado é sempre superior ao número positivo:

Exemplos:

1)        4-(-2) =6  ( 4 + 2 = 6)

2)        8-(-3) =11 (8 + 3 = 11)

 Obs: os sinais invertem –se.

Na subtração  de  Negativo com Positivo

Quando subtraímos um número negativo com um número positivo, o resultado é inferior ao número negativo: 

Exemplos:

1)-3-(+4) =-7

2)-8-(+10) =-10

Obs: O sinal dentro dos parênteses passa a não existir:

Na subtração de Negativo com Negativo

Na subtração de dois números negativos, o resultado é superior ao menor número negativo:

Exemplos:

-1-(-4) =3

-11-(-3) =-8

Na subtração de Positivo com Positivo

Quando subtraímos dois números positivos, o resultado é  inferior ao maior número:

Exemplos:

1)    3-4=-1

2)    8-5=3

3)    13-10=3

por: Dan. S.

Oposto

Oposto

Considere a seguinte situação:

Seja um número inteiro qualquer x, podemos associar a ele outro número inteiro,  – x, que é o  oposto de x.

Por exemplo:

1)    2 é o oposto de – 2

2)    100 é o oposto de -100

3)    -1000 é o oposto de 1000

4)    10000 é o oposto de -10000

Quando envolve sinais

Veja os exemplos abaixo:

– (+2) é o oposto de +2, ou seja, – 2.

Pois - + = - ( menos com mais é igual a menos )

– (– 3) é o oposto de –3, ou seja, 3.

Pois  - - = +  ( menos com menos é igual a mais )

– (– (– 35)) é o oposto do oposto de 35, ou seja, é – 35

 Pois - - - = -  ( menos vezes menos vezes menos é igual a menos)

Por exemplo:

(-2) x( - 2)x (-2) = -8

A soma de um número pelo seu oposto

Quando somamos um número pelo seu oposto o resultado dessa soma é igual a zero.

Por exemplo:

1)    + 5 +(– 5) = 0, pois + 5 – 5 = 0

2)    – 2+(2) = 0

3)    – 3+(3) = 0

4)    – 10+(10) = 0

conjuntos numéricos fundamentais

NÚMEROS NATURAIS ( N )

A quantidade de qualquer coisa (objetos, pássaros, planetas, pessoas, etc ) empregamos os números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9... 
Esses números são chamados de números naturais.

os números inteiros positivos, incluindo o zero pertencem ao conjunto dos naturais . o conjunto dos números naturais é representado pela letra N maiúscula.

Exemplo:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... }

obs: Os elementos deste conjunto devem estar sempre entre chaves.

O Conjunto dos Naturais não nulos (quando excluímos o zero) colocamos

 * ao lado do N.

exemplo:

N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... }


Os elementos do conjunto N, sempre tem um sucessor e um antecessor.

 3 é o sucessor de 2.

 10 é antecessor de 11.

  zero não tem antecessor no conjunto N

o conjunto N é infinito.

o que é infinito e o que é finito?

os números naturais maiores que 0 é infinito: {1, 2, 3, 4, ...}
os números naturais menores que 3 é finito: {0, 1, 2 }
observação: 

- todo número natural tem um sucessor 

- todo número natural tem um antecessor  (com exerção do zero)


UM NUMERO É PAR OU IMPAR QUANDO: 

-Um número natural é par quando termina em 0,2,4,6 ;
-Os números pares são: 0,2,4,6,8,10,...;
-Um número é ímpar quando termina em 1,3,5,7,...;
-Os números ímpares são: 1,3,5,7,9,11,...


EXERCÍCIOS 

1) Determine

a) O sucessor de 123
R: 124
b) o sucessor de 2.000
R:2.001
c) o sucessor de 110.000
R: 110.001
d) o sucessor de 7.777.779
R: 7.777.780
f) o antecessor de 233
R: 232
g) o antecessor de 34
R: 33
h) o antecessor de 10.000
R: 9.999
i) o antecessor de 7.084.000
R: 7.083.999
j) o antecessor de 10.000.000
R: 9.999.999


2) Adicione
a) 123 com o seu sucessor
R: 123 + 124 = 247
b) 99 com o seus antecessor
R: 99 + 98 = 197

3) Pense em todos os números naturais que se escreve com dois algarismos

a) Quantos são pares?
R: 45
b) Quantos são ímpares?
R: 45

NÚMEROS INTEIROS (  Z )

-Representamos os números inteiros pela letra Z.

( os números inteiros são números reais)

- Nas operações de adição, subtração  e multiplicação o resultado dessas operações entre dois números inteiros é um número inteiro ( dependendo de algumas divisões também obtemos um número inteiro).

Subconjuntos de Z

Z^* = Z {0}

Z+ = CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS 

= { 0 ,1,2,3 ...}

Z _ =  CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS

= { ...-4,-3,-2,-1,0}

Conjunto dos números racionais (Q)

Os números racionais são todos os números que podem ser mostrados na forma de fração ou números decimais compostos por números inteiros, pertencentes ao conjunto dos números reais junto ao conjunto dos números irracionais .

Obs: O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula.

Exemplo de números racionais :

1/5 ou 0, 2

1/2 ou 0,5

3/4 ou 0,6

-1/2 ou -0,5

Obs: Os números 1/ 5, 1/2, 3/4  estão na forma a/b com a,b pertencente a Z e b diferente de 0.

Observações  sobre os números racionais:

Obs 1: Os número decimal exato é  número racional.

Obs 2: As dízimas periódicas é um número racional.

Obs 3: Todo número inteiro é um número racional.

Números decimais com finitas ordens decimais:

1)1 / 10 = 0, 1

2)3/100 = 0, 03

3)-3/100 = -0,03

4)25/100 = 0,25

5)-25/100 = -0,25

 Número decimal com infinitas ordens decimais periódica:

1)1/3 = 0,3333333...

2)5/11 = 0,45454545...

3)4/11 = 0,36363636...

Obs: São dízimas periódicas simples ou compostas.

 Demonstração através da utilização de diagramas:

Obs: Todo número inteiro é um número racional, portanto, o conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto do conjunto dos números racionais (Q).

Conjunto dos números irracionais ( I )

Os números irracionais são os números reais que não são racionais, ou seja, o conjunto de números irracionais é o complemento do conjunto de números racionais. 

São números irracionais:

√2 = 1,4142135 ...

√3 = 1,7320508 ...

√5 = 2,2360679 ...

√8 = 2,8284271 ...

√11 = 3,31662479 ...

Observações:

Obs1: As raízes acima não são exatas.

Obs2: Os números irracionais possuem a principal característica de não possuírem representação na forma fracionária.

Obs3: Os números decimais infinitos não periódicos,  que sua composição à direita da vírgula não admite formação de períodos são números irracionais.

Dentre os mais importantes números irracionais mais temos:

-O número π (pi = 3,14 aproximado).

- O número de Euler (e = 2,71 aproximado).

- O número de ouro (Φ = 1,61 aproximado).

Obs: Raízes referentes a números que não tem quadrados perfeitos  são consideradas irracionais.

Números  Reais ( R )

Os Números Reais é representado pela letra maiúscula R e inclui os seguintes conjuntos:

Números Naturais : N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9,...}

Números Racionais : Q = {...1/2, 3/4,...}

Números Irracionais : I = {...,√2 = 1,41( aproximado), √3 = 3,14(pi aproximado)...}

Números Inteiros : Z= {...,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}

Obs: As letras maiúsculas representam os conjuntos numéricos.

Representação da união dos conjuntos:

Os números reais podem ser representados por qualquer número pertencente aos conjuntos da união acima.

Em que:

R: Números Reais

N: Números Naturais

Q: Números Racionais
I: Números Irracionais

Z: Números Inteiros

Usamos a expressão abaixo para representar a união dos conjuntos.

R = N U Z U Q U I ou R = Q U I

Em que:

U: União

R: Números Reais

N: Números Naturais

Z: Números Inteiros

Q: Números Racionais

I: Números Irracionais

Referência:

Fundamentos de matemática elementar : Conjuntos e funções, volume 1 , quinta edição , são Paulo, Editora ÁTICA , 2005.

por: Dan. S.