Sistemas lineares

Sistemas lineares

Um sistema de equações lineares, abreviado como sistema linear é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis. Os sistemas lineares são úteis em todos os campos, nas engenharias, na física, na biologia, na química, na economia, etc.

São equações lineares:

1)    5x – 7y = 9  é uma equação linear nas incógnitas x e y.

2)    2x + 5y – z = 10 é uma equação linear na incógnitas x, y e z.

3)    2x + 3y – 4z – t = 4  é uma equação linear nas incógnitas x, y, z e t.

De modo geral, uma equação linear  é escrita na forma:

a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ an = b

Em que: x1, x2...xn são incógnitas, a1, a2, a3, ..., an são números reais que recebem o nome de coeficientes das incógnitas e b termo independente.

Não são equações lineares:

xy - 2z + t = 6 ( não é uma equação linear porque ocorre uma multiplicação de incógnitas )

x^2- 5y = 2t – 3 ( ^é expoente ) ( não é uma equação linear pois ocorre o quadrado )

Sistemas de equações lineares

O conjunto S de e m equações lineares em n incógnitas é dada por:

S=     

 

Obs: Um conjunto de equações lineares forma um sistema linear.

Exemplos :

1)

3x + 4y = 8

x – 2y = 4

Esse é um sistema linear com duas equações e duas incógnitas.

2)

7x – 2y – 3z = 12

2x + 5y + 7z = 18

Esse é um sistema linear com duas equações e três incógnitas.

3)

x + 3y + 5z = 10

2x – 7y  + 4z = 8

x + 2y + z = 20

Esse é um sistema linear com três equações e três incógnitas.

4)

2x+ 3 y + z + w = 36

x +4 y +3z + 2w = 22

2x + y  + 5z  - 3w =  20

Esse é um sistema linear com três equações e quatro incógnitas.

Solução de um sistema linear

Quando ( alfa1, alfa2, alfa3, ... alfan ) é solução de cada uma das equações do sistema, dizemos que ( alfa1, alfa2, alfa3, ... alfan ) é solução do sistema linear.

Veja :

1)    4 e 1 é solução do sistema

2x + 3y = 11

5x – 4y = 16

, pois

2.4 +3.1 = 11

5.4 – 4.1 = 16

2)    3 e 2 é solução do sistema

4x + 2y = 16

3x – 2y = 5

, pois

4.3 + 2.2 =16

3.3 – 2.2 =5

3)    1, 2 e 3 é solução dos sistema

x + 3y + 2z = 13

2x – y – 2z = -6

x – y + z = 2

, pois 

1 + 3.2 + 2.3 = 13

2.1 – 2 – 2.3 = -6

1 – 2 + 3 = 2

4)    X=2 e y=3 não é solução do sistema

3x + 6y = 23

2x – 3y = -8

, pois

3.2 + 6.3 = 23

2.2 – 3.3 = -5

Classificação de um sistema linear

Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas.

(SPD)  Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.

(SPI ) Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.

(SI) Sistema Impossível – não possui solução.

Por : Dan. S.

Matriz diagonal

É muito  frequente o aparecimento dos  números em sequência  retangulares ordenadas, conhecidas como matrizes na matemática e suas aplicações.

É chamada de matriz m x n no conjunto dos números reais R, onde m e n são números inteiros maiores ou iguais a 1, a tabela formada por m x n elementos aij, í = 1,2,3...,m e j = 1,2,3...,n que são dispostos em m linhas e n colunas ( i são linhas e j são colunas).

Representação genérica de  uma matriz 

Obs 1: Essa é a representação genérica de uma matriz  A do tipo m x n.

Obs 2: É chamada de matriz m x n, toda tabela de números dispostos em m linhas e n colunas; essas tabelas devem ser representadas entre parêntese ( ), colchetes [ ] ou barras duplas // // (na vertical).

Os elementos da A = aij ( símbolo da matriz acima ) em que i é i-énesima linha e j é j-ésima coluna, podem ser representada pela notação abaixo:

A =

Obs: Como a representação da matriz genérica é muito extensa ela pode ser representada pela essa segunda notação.

É:

 Matriz diagonal

Seja uma matriz quadrada de ordem n, se os elementos abaixo e acima da diagonal principal dessa matriz forem todos nulo, tal matriz é uma matriz diagonal.

Veja:

obs: todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal devem ser iguais a zero.

por: Dan. S.

Matriz triangular

É muito  frequente o aparecimento dos  números em sequência  retangulares ordenadas, conhecidas como matrizes na matemática e suas aplicações.

É chamada de matriz m x n no conjunto dos números reais R, onde m e n são números inteiros maiores ou iguais a 1, a tabela formada por m x n elementos aij, í = 1,2,3...,m e j = 1,2,3...,n que são dispostos em m linhas e n colunas ( i são linhas e j são colunas).

Representação genérica de  uma matriz 

Obs 1: Essa é a representação genérica de uma matriz  A do tipo m x n.

Obs 2: É chamada de matriz m x n, toda tabela de números dispostos em m linhas e n colunas; essas tabelas devem ser representadas entre parêntese ( ), colchetes [ ] ou barras duplas // // (na vertical).

Os elementos da A = aij ( símbolo da matriz acima ) em que i é i-énesima linha e j é j-ésima coluna, podem ser representada pela notação abaixo:

A =

Obs: Como a representação da matriz genérica é muito extensa ela pode ser representada pela essa segunda notação.

Matriz triangular

Seja uma matriz quadrada de ordem n, se os elementos abaixo ou acima da diagonal principal  dessa matriz forem todos nulos, tal matriz é uma matriz triangular.

Veja:

Obs: toda matriz triangular é quadrada, entretanto nem toda matriz quadrada é triangular.

por: Dan. S.

tipos de matrizes

É muito  frequente o aparecimento dos  números em sequência  retangulares ordenadas, conhecidas como matrizes na matemática e suas aplicações.

É chamada de matriz m x n no conjunto dos números reais R, onde m e n são números inteiros maiores ou iguais a 1, a tabela formada por m x n elementos aij, í = 1,2,3...,m e j = 1,2,3...,n que são dispostos em m linhas e n colunas ( i são linhas e j são colunas).

Representação genérica de  uma matriz 

Obs 1: Essa é a representação genérica de uma matriz  A do tipo m x n.

Obs 2: É chamada de matriz m x n, toda tabela de números dispostos em m linhas e n colunas; essas tabelas devem ser representadas entre parêntese ( ), colchetes [ ] ou barras duplas // // (na vertical).

Os elementos da A = aij ( símbolo da matriz acima ) em que i é i-énesima linha e j é j-ésima coluna, podem ser representada pela notação abaixo:

A =

Obs: Como a representação da matriz genérica é muito extensa ela pode ser representada pela essa segunda notação.

Tipos de matrizes

Em alguns casos damos denotações especiais para algumas matrizes, isso pelo motivo da quantidade  de linhas ou colunas, ou ainda, pela distribuição de seus elementos possuírem propriedades que as diferenciam de uma matriz arbitrária.

Matriz coluna e matriz linha

Uma matriz coluna tem apenas uma coluna, observe:

É uma matriz 3 x 1 ( 3 é linhas e 1 é coluna)

Uma matriz linha tem apenas uma linha, observe:

É uma matriz 1 x 3 ( 1 é linha e 3 é coluna)

Matriz quadrada

Uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas, ou seja, m = n.

Exemplo:

É uma matriz 3 x 3 ( 3 é coluna e 3 é linha )

Obs 1: Matrizes 1 x 1 ( 1 x 1 é uma matriz quadrada de ordem 1), 2 x 2, 3 x 3 e 4 x 4 são matrizes quadradas, pois m = n.

Obs 2:  os números  -2, 9  e 4 na matriz B formam a diagonal principal e os números 5, 9 e 1 na matriz B formam a diagonal secundária.

Veja:

Matriz triangular

Seja uma matriz quadrada de ordem n, se os elementos abaixo ou acima da diagonal principal  dessa matriz forem todos nulos, tal matriz é uma matriz triangular.

Veja:

Obs: toda matriz triangular é quadrada, entretanto nem toda matriz quadrada é triangular.

 Matriz diagonal

Seja uma matriz quadrada de ordem n, se os elementos abaixo e acima da diagonal principal dessa matriz forem todos nulo, tal matriz é uma matriz diagonal.

Veja:

obs: todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal devem ser iguais a zero.

Matriz nula

Quando uma matriz m x n tem todos os seus elementos iguais a zero, essa matriz é denominada de matriz nula.

Obs: Uma matriz nula e representada por Om x n ( m é linha e n é coluna )

Exemplos de matrizes nulas:

Exemplo 1

Exemplo 2

Matriz oposta

Um matriz oposta de uma matriz B de ordem m x n (m é linha e n é coluna)  é uma matriz –B de mesma ordem, cujos elementos são opostos dos elementos de B.

Exemplo:

A oposta é 

Matriz transposta

  Seja a matriz B de ordem mxn, representamos a matriz transposta de B por B^t de ordem invertida nxm. Dessa maneira concluímos que para transformar uma matriz em uma matriz transposta, basta trocar os elementos das linhas pelos elementos das colunas ou vice-versa.

Exemplos:

1)

2)

Matriz identidade

Um matriz  identidade de ordem n, é indicada por In.

Exemplos:

Obs 1: Uma matriz identidade é matriz quadrada.

Obs 2: Todas as matrizes quadrada de ordem n em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero e chamada de matriz identidade.

Igualdade de matrizes

Seja duas matrizes do mesmo tipo A = (aij) mxn e B = (bij) mxn, A = B se, somente se, todo elemento de A é igual ao seu correspondente em B.

Observe que a matriz A e B são de mesma ordem m x n =

3 X 2 ( três linhas e duas colunas ), nas duas matrizes consideradas temos os seguintes elementos correspondentes  a11 e b11, a21 e b21, a31 e b31; a12 e b12, a22 e b22, a 32 e b32.

Exemplo pratico 1:

Observe que as matrizes são quadradas de ordem 2 e os elementos correspondentes são iguais.

Exemplo pratico 2:

Observe que essas matrizes tem a mesma ordem m x n = 2 x 2, entretanto os elementos correspondentes não são iguais.

por: Dan. S.