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terça-feira, 7 de abril de 2015

limites/1

Limites

Introdução

Saber trabalhar com limite é de fundamental importância no estudo do cálculo.

um dos fundamentos do Cálculo é constituído pelo conceito de limite, isso porque, para definir derivada, continuidade, integral, convergência, divergência, é utilizado esse conceito.

O registro histórico, no entanto, e justamente oposto a essa ideia. Por muito tempo, a noção de limite foi confundida com idéias vagas, às vezes filosóficas relativas ao infinito, números infinitamente grandes ou infinitamente pequenos.

A definição moderna de limite surgiu nos séculos XVIII e XIX, originário da Europa. Tal ferramenta matemática é bastante utilizada em várias árias do conhecimento, como a engenharia, a astronomia, a biologia, a física, etc.

1 Limite e continuidade

1.1 Noção intuitiva de limite

O objetivo dessa primeira postagem é mostrar uma definição intuitiva de limite.

Através de uma regra pré-estabelecida podemos escolher um conjunto de números no conjunto de números reais.

Observe as sucessões abaixo:

Observe as sucessões numéricas 1,2 e 3.

Sucessão 1

1,2,3,4,5,6,7...

A ideia que essa sucessão nos passa e que podemos marca um número real qual quer na sucessão que sempre encontraremos um termo maior que o marcado. Assim podemos dizer que os termos dessa sucessão tende para o + infinito.

Podemos fazer:

Denota-se por x tendendo para o + infinito.

Sucessão 2

0,-1,-2,-3,-4,-5...

A ideia que essa sucessão nos passa é que podemos marcar um número real qual quer na sucessão que sempre encontraremos um termo menor que o marcado. Assim podemos dizer que os termos dessa sucessão tende para o – (menos) infinito.

Podemos fazer:

Denota-se por x tendendo para o – infinito.

Sucessão 3

1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8...

A ideia que essa sucessão nos passa é que os termos crescem mais não, ilimitadamente. Esses termos se aproxima cada vez mais perto do 1, mais nunca atinge esse valor.

Podemos fazer:

Denota-se por x tendendo a 1.

- o conceito limites de uma função

1 Seja a função f(x) = 3x+1

Para x tendendo a 1 ( x tendendo a 1, não x=1)

Na tabela teremos:

-pela sua direita valores maiores que 1

-pela sua esquerda valores menores que 1

Tabela 1

X	Y=3x+1	X	Y=3x+1
2	7	0.5	2.5
1.5	4.5	0.7	3.10
1.10	4.3	0.8	3.40
1.05	4.15	0.95	3.85
1.001	4.003	0.99	3.97

observe:

Note que a medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 4, ou seja, quando x tende a 1(x->1, y tende a 4 (y-> 4)

Em geral, fazemos:

O limite da função é 4.

Obs: não é preciso que x seja 1. Se f(x) tende para 4 (f(x)->4), dizemos que o limite de f(x) quando x->1 é 4, mesmo quando possam ocorrer casos para os quais x=1 o valor de f(x) não seja 4.

Em geral, fazemos: