o numero pi

O NÚMERO PI

Oi pessoal !

O NÚMERO PI ( um breve resumo). A letra grega pi, foi designada para o número  a partir da palavra  “ pieµƐtpoc ” (palavra  grega para perímetro), provavelmente  por Wiliam Janes em 1706, entretanto, os créditos pela popularidade de pi é de Leonhard Euler alguns anos mais tarde.

Na matemática, pi é uma proporção numérica entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro.

Dessa maneira, poderemos igualar as razões entre os perímetros dos círculos e os seus respectivos diâmetros. Tal proporcionalidade permite escrever que o perímetro de uma roda qualquer, dividido pelo seu diâmetro, é igual ao perímetro de uma moeda dividido pelo diâmetro dessa mesma moeda: 

Veja a relação.

Se uma circunferência tem perímetro a e um diâmetro b, então pi é igual a a/b.

Outros nomes para esse fantástico número é número de Euler  e constante circular.

Curiosidade sobre a notação.

Wiliam Jones foi o primeiro a utilizar a definição que usamos hoje ( de pi), entretanto,  não ouve aceitação da notação pela comunidade cientifica, isso só ocorreu após Leonhard Euler utiliza-la.

Obs:

  PI é um número irracional, que não pode ser escrito como um número finito ou repetindo decimais. O valor aproximado é 3,14 (que mais usamos). 

Na outra postagem vamos falar sobre a aproximação de pi. 

operações com fração/adição/subtração/multiplicação/divisão

FRAÇÃO

Oi pessoal!

Vamos ver um pouco de operações com frações.

                                                      

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

1       Adição de frações  com denominadores iguais.

*Soma-se os numeradores

*Mantem-se  o denominador

EXEMPLO A:

Ex a.

1/3 + 2/3 = 3/3 = 1 ( foi somado os numeradores e mantido  o denominador )

Em que 1 e 2 são os numeradores e 3 é o denominador

Ex a1.

2/6 + 3/6 = 2+3 / 6 = 5/6

Ex a2.

1/2  + 1/2  = 1 +1 / 2 = 1

2     Subtração de frações de denominadores iguais .

 *subtraímos  os numeradores

 * mantemos o denominador

EXEMPLO B:

Ex  b.

4/8 – 3/8 = 1/8  (foi subtraído os numeradores e mantido o denominador)

 Em que 4 e 3 são os numeradores e 8 é o denominador.

Ex  b1.

5/6 – 2/6 = 3/6 

Em que 5 e  2 são os numeradores e 8 é  o denominador .

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES DE DENOMINADORES DIFERENTES

c.

1/2 + 1/3 = ? ( como resolver? )

 Como as frações tem denominadores diferentes,  a identificação da fração total resultante  se torna mais difícil, mais podemos encontrar frações equivalentes a cada uma  delas que tenham denominadores iguais.

 Veja o exemplo A :

Ex d.

1/2 + 1/3  =  ( vamos usar equações equivalentes para encontrar a fração resultante)

1/2  + 1/3  =  3/6 + 2/6  = 5/6

As frações equivalentes a 1/2  e 1/3 são respectivamente 3/6 e 2/6.

           

Ex d1.

            2/3 + 1/5 = 10/15 + 3/15 = 13/15

Outra maneira de somar duas frações com denominadores diferentes é tirar o mmc dos denominadores .

Veja:

Ex  e.

1/3 + 1/2 = 5/6

Fazendo o mmc  de 2 e 3, obtemos 6.

veja a figura.

Essa é uma maneira alternativa.

SOMA E SUBTRAÇÃO DO TIPO

a)     = 1 – 1/6  = ? e b) = 7 + 5/6  = ?

Uma alternativa e multiplicar o denominador pelo numero inteiro e subtrair os numeradores ou somar no caso da adição, mantendo sempre o denominador.

Ex f.

1 – 1/6 = 5/6

veja  a figura f.

Multiplicamos o denominador 6  por 1 e em seguida subtraímos o 1 de 6.

Ex f2.

7 + 5/6  = 42 + 5/6 = 47/6

veja a figura f2.

Multiplicamos o denominador 6 por 7 e em seguida somamos 5  a 42.

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES

Na multiplicação de frações, multiplicamos os numeradores e multiplicamos os denominadores .

Exemplos :

Ex a.

2 x 1/3 = 2/3

Ex b1.

1/3  x  2/4 = 2/12 = 1/6

Ex c1.

1/3 x 2/5 x 6/7 = 12/105 =  4/35 ( na forma irredutível )

A forma irredutível é aquela que não é possível simplificar mais

Ex.

3/4  ( não da pra simplificar )

INVERSA DE UMA FRAÇÃO

Observe alguns produtos:

Ex a2.

1/3 x 3/1  = 3/3 =1

Ex b2.

3/5 x 5/3 = 15/15 1

Observando esses produtos, concluímos que, quando o produto de duas frações é igual a 1 ( nesse caso), essas frações são inversas uma da outra.

( obvio )

DIVISÃO DE FRAÇÕES

Exemplo A:

Figura a3.

Dividir por ¼ é o mesmo que multiplicar por 4, que é a inversa de ¼.

Exemplo B:

Ex  b3.

3/4  / 1/8 = 3/4  x 8/1 = 24/4 = 6

Dividir por  1/8 é o mesmo que multiplicar por 8, que é a inversa de 1/8.

Observe que a divisão de frações consiste em multiplicar o numerador pelo inverso do denominador. 

EXERCÍCIOS 

1)    ESCREVA A INVERSA DAS FRAÇÕES:

a)     3/4

b)    6

c)     5/3

d)    2/15

2)    CALCULE:

a)     2/5  /  2/3

b)    2/4 / 6/5

c)     2/3 / 1/4

d)    2/7 / 1/5

3)    QUAL  DOS SEGUINTES NÚMEROS É O MAIOR ?

a)     1/3 + 1/2

b)    1/2 / 1/3

c)     1/3 x 1/2

RESPOSTAS DOS EXERCICIOS:

1)    a) 4/3 b) 1/6  c) 3/5 d) 15/2   2) a) 3/5 b) 5/12 c) 8/3 d) 10/7  3) a) 5/6  b) 3/2 c) 1/6 

( portanto,  b é a resposta correta )

legenda:

/ = divisão

+ = adição

- = subtração

x = multiplicação

números inteiros

Olá pessoal!

VAMOS FALAR UM POUCO SOBRE OS NÚMEROS INTEIROS

NÚMEROS INTEIROS

-Representamos os números inteiros pela letra Z.

( os números inteiros são números reais)

- Nas operações de adição, subtração  e multiplicação o resultado dessas operações entre dois números inteiros é um número inteiro ( dependendo de algumas divisões também obtemos um número inteiro).

Subconjuntos de Z

Z^* = Z {0}

Z+ = CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS 

= { 0 ,1,2,3 ...}

Z _ =  CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS

= { ...-4,-3,-2,-1,0}

Referência

Fundamentos de matemática elementar : Conjuntos e funções, volume 1 , quinta edição , são Paulo, Editora ÁTICA , 2005.

valor absoluto e valor relativo

Olá pessoal !

Vamos falar um pouco sobre o  valor absoluto e o  valor relativo de um número.

VALOR ABSOLUTO E VALOR RELATIVO

VALOR  ABSOLUTO DE UM NÚMERO 

Sempre que usamos algarismos para escrever  os números , temos  um valor absoluto  e um valor  relativo  ( o valor relativo  também é chamado de valor posicional ).

Obs 1:

Chamamos de valor  absoluto  o próprio valor  do algarismo.

Veja:

Dado o número 1245

 o valor absoluto do algarismo 2 de 1245 é 2.

VAMOS VER ALGUNS EXEMPLOS:

1)    VALOR ABSOLUTO DE 14

- o valor absoluto de 1 é 1.

- o valor absoluto de 4 é 4.

2)    VALOR ABSOLUTO DE  425

- o valor absoluto de 4 é 4.

- o valor absoluto de 2 é 2.

- o valor absoluto de 5 é 5.

VALOR RELATIVO DE UM NÚMERO

O valor relativo ou valor posicional é o valor  que o algarismo  tem de acordo  com a posição que ocupa no numero.

Veja :

O  valor relativo do algarismo 2 em 321 é 20 (na casa da dezena)

VAMOS VER ALGUNS EXEMPLOS:

1)    O VALOR RELATIVO  DE 521

 5 = 500 ( centenas )

2 = 20 ( dezenas )

1 = 1 ( unidade )

2)    O VALOR  RELATIVO DE 33

3 = 30 ( dezenas )

3 = 3 ( unidade )

Obs : quando somamos os valores relativos de número, obtemos o mesmo número .

VEJA ALGUNS EXEMPLOS :

1)

a)     521 = 500 + 20 + 1

b)    33 = 30 + 3

c)     22 = 20 + 2

d)    55 = 50 + 5

Duvidas!

Manda mensagens .

notação cientifica/ operações

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

A notação científica é uma ferramenta de extrema utilidade. A notação científica serve para  expressar números muito grandes ou muito pequenos.

Ex:

Distância média da terra ao sol: 150.000.000.000m

Distância da terra a alfa de centauro: 40.000.000.000.000.000m

Raio do hidrogênio: 0, 0000000000529m

Quando escrevermos um número em notação científica, escrevemos com o seguinte formato:

m . 10ª

Em que o coeficiente m ( m é um número real) é denominado mantissa, o módulo de m é igual ou maior que 1 e menor que 10, e o expoente a (a ordem de grandeza)

 é um numero inteiro.

ESCREVENDO UM NÚMERO EM NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Para transformar um número real qualquer em notação cientifica, devemos transformar esse número no produto de um número real por uma potência de 10, respeitando as seguintes regras:

 -A mantissa m tem que ser um número real igual ou maior que  1 e menor que 10.

 -A potência de 10 têm expoente inteiro.

EXEMPLO 1

Escreva os números 2010 e 00032 na forma de notação científica:

2010  passando para notação científica  2, 010 . 10³

Obs: deslocamos a vírgula 3 posições para a esquerda, por isso,  devemos multiplicar  2, 010 por  10³.

e

00032  passando para notação científica 3, 2 . 10 ̄³

Obs: deslocamos a vírgula 3 posições para a direita, por isso,  devemos multiplicar  3, 2  por  10 ̄³ .

A VIRGULA

Observe que:

  -Quando deslocamos a vírgula n posições para a direita, devemos subtrair n unidades do expoente.

  -Quando deslocamos a vírgula n posições para a esquerda, devemos somar n unidades ao expoente.

Exemplos:

a)55526 = 5,5526 . 10^4

b)-23,42 = -2,342 . 10^1

c)1,54 . 10^0

d)0,123 = 1,23 . 10^-1

e)0,003546 = 3,546 . 10^-3

f)0,000132 = 1,32 . 10^-4


OPERAÇÕES ENVOLVENDO NOTAÇÃO CIENTÍFICA

ADIÇÃO

Na soma de números em notação científica é preciso que todos os números possua a mesma ordem de grandeza.

Exemplo 1

Resolva:

2, 3 . 10^2 + 3, 655 . 10^4 + 4, 34 . 10^ -1

Obs: como há uma diferença, devemos fazer um processo de conversão para igualar os expoentes das potências de 10.

O processo:

Vamos deixa todas as potências com expoente 2.

   

A primeira parcela 2, 3 . 10^2 permanece.

  já na segunda parcela precisamos reduzir o expoente 4 para 2.

3, 655 . 10^4 = 365, 5 . 10^2 dessa forma a virgula na mantissa será deslocada 2 posições para a direita.

Na terceira parcela o expoente aumenta em 3 unidades, assim, a virgula da mantissa será deslocada 3 posições para a esquerda.

4, 34 . 10^ -1 = 0,00434 . 10^2      (os expoentes -1+3 = 2)

Somamos as mantissas:

(2, 3 + 365, 5 + 0,00434) . 10^2 = 367, 30434 . 10^2 ( como a mantissa não está nas condições estabelecidas,  precisamos deslocar a virgula duas posições para a esquerda)

Assim:

367, 30434 . 10^2 = 3, 6730434 . 10^4

( A mantissa tem que ser um número real igual ou maior que  1 e menor que 10)

SUBTRAÇÃO

Na subtração usamos a mesma analogia da adição; o numerador e o denominador  devem possuir a mesma ordem de grandeza.

EXEMPLO 2

3,435 . 10^4 – 2, 4 . 10^3

Vamos deixa as potências com expoente 2.

2, 4 . 10^3 permanece

3,435 . 10^4 = 343,5 . 10^2   ( os expoentes 4 – 2 = 2)  pois deslocamos a virgula 2 posições para a direita

343,5 . 10^2  = 3,435 . 10^4     

observe que: como a mantissa não está nas condições estabelecidas,  precisamos deslocar a virgula duas posições para a esquerda.

MULTIPLICAÇÃO

Na multiplicação, multiplicamos as mantissas e somamos os expoentes.

EXEMPLO 3

3, 6 . 10^3 . 5, 453 . 10^2 =  19, 6308 . 10^5 = 1,96308 . 10^6

Observe que: a^m . a^n = a^m+n

DIVISÃO

Na divisão, dividimos as mantissas e subtraímos os expoentes.

EXEMPLO 4

2, 4 . 10^2 / 3, 32 . 10^4 = 0,722891566 . 10^2 = 7,22891566 . 10^1

Observe que: a^m / a^n = a^m-n

RAIZ DE NÚMEROS ESCRITO EM NOTAÇÃO CIENTIFICA

RADICIAÇÃO/NOTAÇÃO CIENTIFICA

Na radiciação é necessário que a ordem de grandeza seja divisível pelo índice,  dessa maneira temos:

FIGURA 1

Note que a ordem de grandeza, que é igual a 3, não é divisível pelo índice 2. Para isso, vamos subtrair 1 unidade, deslocando a vírgula da mantissa 1 posição para a direita.

FIGURA 2

Note que a ordem de grandeza, que é igual a 2, não é divisível pelo índice 3. Para isso, vamos adicionar  1 unidade ao expoente, deslocando a vírgula da mantissa 1 posição para a esquerda.