equação de primeiro grau

Exercícios resolvidos; Equação de primeiro grau 

1) resolva os exercícios abaixo:

a) Encontre o conjunto solução da equação 5x + 8 = 18.

5x + 8 = 18

5x = 18 - 8 os elementos que tem incógnitas no primeiro membro; os que não tem incógnitas no segundo      membro

5x = 10

x = 10   = 2

       5                          

portanto: S = {2} 

                        

b) Encontre a raiz da equação 8x -12 = - 4x .

8x -12 = -4x

8x + 4x = 12

12x =  12

x =  12    = 1

       12                          

portanto: a raiz é  1

                            

c) U = {4,6,8 } é o cojunto universo da equação 5x - 10 = 0. qual é o conjunto verdade(ou conjunto solução)  desta equação?

5x - 10 = 0

5x = 10

x = 10

      5

x = 2

portanto:  U não é o conjunto universo da equação.

d) Encontre o conjunto verdade da equação 4x = -6 + 2x .

4x = -6 + 2x

4x -2x = -6

2x = -6

x =  -6

        2

x = -3

portanto: V = { -3 } é o conjunto solução da equação. 

e) -6 é raiz da equação x + 10 = 4?

x + 10 = 4

x = 4 -10

x = -6

portanto: sim, pois -6 é raiz da equação.

2) exercícios:

a) Dada a equação x + 6 = 2(x -2). Como descobrir x ?

    x + 6 = 2(x - 2)

    x + 6 = 2x - 4 pela propriedade da distributiva

    x - 2x = -4 -6

   -x = -10

    x = 10  

portanto: o valor de x é 10.

Símbolos lógicos matemáticos

Símbolos lógicos matemáticos: 

^	e	A ∧ B é verdadeira  se ambos forem verdadeiros. Exemplo: 2 = 4  ∧ 1 = 1  é falso
v	ou	A ∨ B só é falsa se ambos forem falsos. Exemplo: 2 = 4  ∨ 1 = 1  é verdadeiro
→	implica	x = 3  ⇒  x² = 9 é verdadeiro, mas x² = 9   ⇒  x = 3 é em geral falso (visto que x pode ser −3)
↔	equivalência	se e só se; se e somente se lógica proposicional A ⇔ B significa: A é verdadeiro se B for verdadeiro e A é falso se B é falso x + 6= y + 3 ⇔ x + 4 = y
/	Tal que	z = {x  z | x²  } significa que z  é o conjuntos dos números pertencentes aos racionais tal que  esses números sejam maiores ou iguais a zero.
~	negação	Iremos  passear ~p: Os  não iremos  passear.
∃	existe	x  N | x > 5 Significa que existe um x pertencente ao conjunto dos números inteiros tal que x é maior que 5.
∀	para todo	Para todo   x < 0, x é negativo. Significa que para qualquer x menor que 0, x é negativo.

símbolos matemáticos

Aqui estão alguns símbolos matemáticos:

 

Símbolo:	Nome:	Lê-se:
+	Adição	“mais”   exemplo: 2 + 6 = 8 significa que se somar 2 a 6, o resultado, é 8.
-	subtração	“menos” exemplo: 10 - 3= 7 significa que se se subtrair 3 de 10, o resultado será 7.
/	divisão	" dividido" exemplo: 4/2 = 2, significa que se dividirmos 4 por 2 o resultado é 2.
* ou x	multiplicação	"multiplicado" exemplo:  3*2 = 6, significa se multiplicarmos 3 por 2, o resultado é 6.
=	Igualdade	"igual a"    x = y significa: x e y são nomes diferentes para a exacta mesma coisa Exemplo: 5 + 8 = 16 – 3
∅ ou {}	Conjunto vazio	o conjunto não tem elementos, é um conjunto vazio exemplo: A = {5,6,7} B ={1,2,3} A    A∩B =∅
∈ ; ∉	Pertence ao conjunto	"  pertence a "                a ∈ S a é um elemento do conjunto S; a ∉ S significa: a não é um elemento de S
⊆; ⊂	subconjunto	"é um subconjunto de "            Exemplo: A ⊆ B significa: cada elemento de A é também elemento de B (A é um subconjunto de B) A ⊂ B significa: A ⊆ B mas A ≠ B (A é um subconjunto próprio de B) Exemplo: A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R
∩	intersecção	"intersecta"                A ∩ B significa: o conjunto que contém todos os elementos que A e B têm em comum.
∪	União	" união "     A ∪ B significa: o conjunto que contém todos os elementos de A e também todos os de B. Exemplo: A ⊆ B ⇔  A ∪ B = B

conjuntos numéricos:

IN	números naturais
	N : {0,1,2,3,4,5,6...}
	N* é usado para indicar o conjunto de números naturais não-nulos, ou seja: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}
Z	números inteiros
	Z : {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,4...}
	O símbolo Z* é usado para indicar o conjunto de números inteiros, não-nulos: Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}
Q	números racionais
	Q : {p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}  Todo número racional é representado por uma parte inteira e uma parte fracionária.
	Q* é usado para indicar o conjunto de números racionais não-nulos: Q* = {x  Q | x  0}  Q+ é usado para indicar o conjunto de números racionais não-negativos: Q+ = {x  Q | x  0}   Q- é usado para indicar o conjunto de números racionais não-positivos: Q- = {x  Q | x  0}
R	números reais
	R : {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q}
	R+ é usado para indicar o conjunto de números reais não-negativos: R+ = {x  R | x  0}   R- é usado para indicar o conjunto de números reais não-positivos: R- = {x  R | x  0}
C	números complexos
	C : {a + bi : a,b ∈ R}
	Um número complexo representa-se por a+bi, sendo a a parte real e b a parte imaginária.

equação do primeiro grau

Introdução às igualdades 

  A expressão: 10 - 2 + 6 - 2 envolve apenas números. Essa expressão é uma expressão Aritmética. 
 Você já deve ter conhecido as operações fundamentais e suas propriedades. A parte da matemática que trabalha com essas expressões é a Aritmética.

  As expressões: 

a)2x + 3 o dobro de um número é somado a 3
b)x + 2x + 2 um número adicionado ao dobro de outro número somado a 2

 Muitas vezes somos obrigados a combinar letras com números. Essa parte da matemática em que usamos letras é chamada de Álgebra.

Sentença matemática
 No cotidiano usamos sentenças para nos comunicar em conversas e na linguagem escrita. 
 Na matemática, também usamos sentenças, para fazer afirmações sobre números. Em sentenças matemáticas, usamos símbolos no lugar de palavras. A seguir são apresentados alguns símbolos:

= ( igual a )   ≠  ( diferente de )   > ( maior que ) < ( menor que )

Igualdade
 Denominamos de 1° membro os termos da igualdade que aparecem à esquerda do sinal da igualdade, o 2° membro, os termos à direita do sinal da igualdade.

 exemplo: 
3 + 2 = 5       3 + 2 ( primeiro membro )  e  5 ( segundo membro )

princípios 

1) Quando adicionamos aos dois membros de uma igualdade um mesmo número, obtemos uma nova igualdade.

    exemplo: 
3 + 2 = 5  quando adicionamos o número 2 na expressão (3 + 2) + 2 = (5) + 2 
obtemos respectivamente 7 no primeiro membro e 7 no segundo membro
   
 2) Quando  multiplicamos os dois números da igualdade por um mesmo número, diferente de zero, obtemos uma nova igualdade.
     
   exemplo 
3 + 2 = 5 quando multiplicamos os dois membros por 2 na expressão (3 + 2)2 = (5)2
obtemos respectivamente 10 no primeiro membro e 10 no segundo membro 

equação de 1° grau: definição

   Equação  é toda sentença matemática representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam o valor de um termo desconhecido, que será representado por uma letra(incógnita), cuja representação mais usual se dá por x, y e z. O prefixo equa, em latim quer dizer "igual". 

equação  geral do primeiro grau:

ax + b = 0   (a e b são números conhecidos e a ≠ 0)

subtraindo b dos dois lados obtemos:

ax = -b

agora dividimos por a os dois termos:

x = -b

       a

    conjunto universo e conjunto verdade de uma equação

       

        1 Considere o conjunto b = {0, 1, 2, 3, 4,} e a equação 3 + x = 6.

          O número 3 do conjunto b é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa equação.

          2 Os números inteiros que satisfazem a equação x² = 4

          O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.

          Os números -2 e 2, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {-2, 2}.  

   observe:

   O conjunto de todos os valores que a variável pode assumir  é o Conjunto Universo. 

   O conjunto dos valores de U, que tornam a equação verdadeira é o Conjunto verdade. 

   O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.

   O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S.

   raízes da equação

        As raízes da equação são os elementos do conjunto verdade   .

    Para verificar se um número é raiz de uma equação:

           

         Substituímos a incógnita por esse número;

         Damos os valores de cada membro da equação;

         Verificamos a igualdade, se for uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.

          

       exemplos:

qual dos elementos do conjunto B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, } podemos colocar no lugar da letra x para torna a sentença verdadeira 2 + x = 4 ?

2 + x = 4   = 2 + (0) = 4 F

2 + x = 4   = 2 + (1) = 4 F

2 + x = 4   = 2 + (2) = 4 V

2 + x = 4   = 2 + (3) = 4 F

Observe o elemento é o número 2; pois os outros não tornam a sentença verdadeira.

Nas equações temos: 

1) Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incógnitas;

2) Um sinal de igualdade, denotado por =.

3) Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro e uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro.

 exemplos:

a) equação com uma incógnita representada pela letra x.

   

 10x + 5 = 10 

b) equação com uma incógnita representada pela letra y.

    

 12 + 2x = 14

c) equação com duas incógnitas representas pelas letras x e y. 

   

   y - x = 12  

não são equações:

a) 2² - 3 = 4 - 3 embora seja uma igualdade não apresenta incógnitas 

b) 2² -3 = 2² - 3 embora seja uma igualdade não apresenta incógnitas

c) 2 + x  > 12 embora apresente elementos desconhecidos, não apresenta uma igualdade

 resolução de equação do 1° grau com uma incógnita: 

A resolução de uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do conjunto universo considerado.

exemplo 1:

  para resolver uma equação: Insolamos no 1° membro os termos da equação que apresentam a incógnita e, no 2° membro, os termos que não apresentam a incógnita.

veja:

se U = Q ( Q - Conjunto dos números Racionais = todo numero que pode ser escrito na forma a/b, com a , b pertencente ao conjunto Z e b diferente de 0 ; frações, números decimais...)

3x + 5 = 2 - 2x

3x + 2x = 2 - 5   3x + 2x primeiro membro  2 - 5 segundo membro 

5x = -3                           

x = -3                           

      5

 -3  ∈ Q, então V = -3

  5                          5

1 (3x + 2x = 5x  é o  1° membro apresentando os termos da equação com incógnitas)

2 (2 - 5 = -3 é o 2° membro apresentando os termos da equação que não apresentam incógnitas)

3 ( 3x + 2x = 2 - 5 = 5x = -3 aplicamos as operações indicadas entre os termos semelhantes)

4 ( x = - 3/5 O coeficiente numérico da letra x do 1º membro deve passar para o outro lado, dividindo o elemento do 2º membro da equação)

 para saber se a sentença é verdadeira 

 É  feita substituindo o valor de x na equação, observe: 

3x + 5 = 2 - 2x

substituindo x = -3/5 => -0,6 

3(-3/5)+ 5 = 2 - 2(-3/5)

3,2 = 3,2      sentença verdadeira 

Todas as equações podem ser resolvidas dessa maneira. 

exemplo 2:

2x – 2x + 5 = 5 + 2x – 20 

2X - 2X -2X = 5 - 5 -20   

-2X = -20

X = -20

       -2

X = 10

  2x - 2x - 2x primeiro membro  5 - 5 - 20 segundo membro  Insolamos no 1° membro os termos da equação que apresentam a incógnita e, no 2° membro, os termos que não apresentam a incógnita.

para saber se a sentença é verdadeira 

 É  feita substituindo o valor de x na equação, observe: 

2X - 2X + 5 = 5 + 2X -20

substituindo x = 10

-2.10 = -20

-20 = -20 sentença verdadeira

exemplo 3:  

 2 . (4x - 4) = 3 . (3x - 1).      → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação 

 2 . 4x - 2  . 4 = 3 . 3x - 3 . 1

8x - 8 = 9x - 3 

8x - 9x = - 3 + 8 

-x = 5

x = -5 

para saber se a sentença é verdadeira 

 É  feita substituindo o valor de x na equação, observe:  

2 . 4x - 2  . 4 = 3 . 3x - 3 . 1

substituindo x = -5

8(-5) - 8 = 9(-5) - 3 

-40 - 8 = - 45 - 3

-48 = -48

veja também

exercícios resolvidos