Grandeza

Grandeza

   A grandeza é o conceito que descreve qualitativa e quantitativamente as relações entre as propriedades observadas no estudo da natureza (em sentido amplo). Grandeza é tudo aquilo que envolve medidas. Medir é comparar uma quantidade de uma grandeza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe um unidade padrão. Unidades de medidas  é um quantidade específica de uma determinada grandeza física e serve de padrão para comparações, as quais, usamos de padrão para outras medidas.

     Exemplos: o volume, a aria, o comprimento, o tempo, a capacidade, a massa são grandezas com unidades de medidas especificas.

Proporcionalidade entre as grandezas 

   

- Proporcionalidade é a relação entre as grandezas matemáticas.

  Os dois tipos de proporcionalidade entre grandezas são:

Grandezas diretamente proporcionais.

 - As grandezas aumentam ou diminuem proporcionalmente e simultânea. A consequência é que a razão entre as grandezas são constantes. Se, x, y e k são diretamente proporcionais aos números racionais a, b e c quando:

    
    x/a = y/b = k/c 
(a razão entre as grandezas são constantes)

Observe:

*RESERVATÓRIO DE ÓLEO 

TEMPO (mim)	DESLOCAMENTO DO ÓLEO (cm)
8	12
12	16
14	20
16	24
18	28

Observe o que acontece quando pegamos a razão entre um número da primeira coluna por sua correspondente na segunda coluna:

   8/12 = 2/3   12/18 = 2/3   16/24 = 2/3   20/30 = 2/3   
( todas as razões são iguais )

exemplos:

1)Verificar se 6, 12 e 32 são diretamente proporcionais aos números 12, 24 e 64.

            

     6/12 = 1/2 = 12/24 = 1/2 32/64 = 1/2

(sendo a razão 1/2,temos; 6, 12 e 32 são diretamente proporcionais a 12,24 e 64)

                                                   

         2) verificar  se 6, 12 e 32 são diretamente proporcionais aos números 10, 24 e 64.

     6/10 = 3/5  12/24  = 1/2  32/64 = 1/2    
( nem todas são  proporcionais; pois a razão 6/10 = 3/5  é diferentes das outras duas razões )

Grandezas inversamente proporcionais.

- Quando a grandeza aumenta a outra diminui proporcionalmente. Consequentemente, o produto entre as duas grandezas são constantes.

   x, y e k são inversamente proporcionais aos números racionais a, b e c, quando:   

  x*a=y*b=k*c  (o produto entre as grandezas são constantes)

observe:

*O DESLOCAMENTO DE UMA PESSOA

VELOCIDADE ( m/s )	TEMPO ( s )
4	60
8	30
12	20
16	15

observe o que acontece quando pegamos o produto de um número da primeira coluna pelo seu correspondente na segunda coluna:

a) 4*60 = 240 b) 8*30 = 240 c)12*20 = 240 d)16*15 = 240 
(todos os produtos são iguais)

1)verificando se 110, 40 e 20 são inversamente proporcionais aos números 4, 11 e 22.

110*4 =  440  40*11 =  440 20*22 = 440

( sendo o produto igual a 440, temos; 110, 40 e 20  inversamente proporcionais aos números 4, 11 e 22 )

   

 2)verificando se 110, 40 e 20 são inversamente proporcionais aos números 6, 11 e 22.

       110*6 = 660 40*11 = 440 20*22 = 440

  (110*6 =660 não é inversamente proporcional a 40*11= 440 e 20*22 = 440)


por: Dan. S.                                                                                           

veja também:

·        principio-fundamental-da-contagem

·        fatorial

permutacao

Permutação

Permutação

Em agrupamentos que podem ser formados por  um certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um agrupamento e outro seja apenas pela mudança de posição entre seus elementos, recebe o nome de permutação simples. Em outras palavras, permutação é uma das formas de se combinar os elementos de um determinado grupo.

Por exemplo:

As permutações simples dos elementos de 1,2,3 são:

123, 132, 213, 231, 312, 321

Vamos calcular algumas permutações através de fatorial.

Definição de fatorial:

n! = n.(n – 1). (n – 2). (n – 3)...3.2.1

Exemplos:

1)    Determine o número de anagramas da palavra LIVRO.

Observe que a palavra LIVRO tem 5 elementos distintos.

Assim:

5!  = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 ( 120 anagramas )

Pois, para a primeira posição podemos colocar 5 letras, para a segunda 4, para a terceira 3, para a quarta 2 e para a quinta 1.

2)    Determine o número de  anagramas da palavra AMOR.

Observe que a palavra AMOR tem 4 elementos distintos.

Assim:

4!  =  4 . 3 . 2 . 1 = 24 ( 24 anagramas )

Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 . 3 . 2 . 1 = 24  ( 24 anagramas ou possibilidade)

Veja alguns anagramas:

ROMA, AMRO, MARO, etc.

Observe:  Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição.

3)Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ORDEM?

Observe que a palavra ORDEM possui 5 letras distintas.

Assim:

5!  = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 ( 120 anagramas )

Pois, para a primeira posição podemos colocar 5 letras, para a segunda 4, para a terceira 3, para a quarta 2 e para a quinta 1.

Quando houver repetição de letras

Se houver repetição de letras, devemos dividir o resultado pelo fatorial da quantidade de letras repetidas:

Por exemplo:

CANOA

A palavra CANOA tem 5 letras, entretanto, 2 letras são iguais.

5! = 5.4.3.2.1 = 120

Devemos fazer:

120/ 2! = 60 anagramas para CANOA.

por: Dan. S.

ANAGRAMAS

ANAGRAMAS

O que é Anagrama?

Anagrama é a construção de várias palavras a partir de uma primeira palavra, em que é alterada a sua ordem original trocando as letras de lugar. Na Matemática, através da permutação, é possível descobrir quantas combinações uma palavra pode ter.

Obs: Os anagramas estão diretamente ligados a análise combinatória e aos cálculos feitos para alcançar o número possível de trocas de letras.

Permutação

Em agrupamentos que podem ser formados por  um certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos, recebe o nome de permutação simples.

Por exemplo:

As permutações simples dos elementos de 1,2,3 são:

123, 132, 213, 231, 312, 321

Pn  é a permutação simples de n elementos distintos, podemos calculá-la através da seguinte fórmula:

Pn = n!

Anagramas

Exemplos:

1)    Determine o número de anagramas da palavra LIVRO.

Observe que a palavra LIVRO tem 5 elementos distintos.

Assim:

P5 = 5!  = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 ( 120 anagramas )

Pois, para a primeira posição podemos colocar 5 letras, para a segunda 4, para a terceira 3, para a quarta 2 e para a quinta 1.

2)    Determine o número de  anagramas da palavra AMOR.

Observe que a palavra AMOR tem 4 elementos distintos.

Assim:

P4 = !  =  4 . 3 . 2 . 1 = 24 ( 24 anagramas )

Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 . 3 . 2 . 1 = 24  ( 24 anagramas ou possibilidade)

Veja alguns anagramas:

ROMA, AMRO, MARO, etc.

Observe:  Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição.

3)Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ORDEM?

Observe que a palavra ORDEM possui 5 letras distintas.

Assim:

P5 = 5!  = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 ( 120 anagramas )

Pois, para a primeira posição podemos colocar 5 letras, para a segunda 4, para a terceira 3, para a quarta 2 e para a quinta 1.

por: Dan.S.

veja também:

·        principio-fundamental-da-contagem

·        fatorial

permutacao

Lei dos Cossenos

Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos é uma das leis da Trigonometria. A trigonometria é a área da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados de um triângulo, formado por dois catetos, ou seja, dois lados, um oposto e o outro adjacente e uma hipotenusa, que é o lado oposto ao ângulo reto.

A Lei dos Cossenos mostra que: em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles.

Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:

Observe que: O quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles ( para qualquer triângulo).

Exemplos:

1)   Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x.

a² = b² + c² – 2 * b * c * cosalfa

6² = x² + 5² – 2 * 5 * x * cos60º

36 = x² + 25 – 10* x * 0,5

36 = x² + 25 – 5x

x² –5x +25 -36 = 0

x² –5x - 11 = 0

Observe que x² –5x - 11 = 0 é uma equação do segundo grau, então vamos usar o método resolutivo da equação do segundo grau.

x’ = 13,3 e x” = – 3,3, como se tratar de medidas descartamos x” = –3,3 e utilizamos x’ = 13,3. Dessa forma o valor de x no triângulo é 13,3 cm

obs: utilizei o método de de completar quadrados para encontrar as raízes da equação do segundo grau.

2)   um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 5cm, AC = 6cm e BC = 4cm. Determine a medida do ângulo A.

Usando a lei dos cossenos

Lembrando que:

a = 6, b =5 e c = 4

6² = 5² + 4² – 2 * 5 * 4 * cos A

36 = 25 + 16 – 40 * cos A

36 – 25 – 16 = –40 * cos A

–5 = –40 * cos A

-5/-40 = cos A (“ - com – na divisão é igual a +”)

cos A = 0,125

observação: O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,125 mede aproximadamente 83 graus ( 83 graus = 0,1219). 

Por: Dan. S.

veja também :

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Lei dos Senos

Lei dos Senos

A Lei dos Senos é uma das leis da Trigonometria. A trigonometria é a área da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados de um triângulo, formado por dois catetos, ou seja, dois lados, um oposto e o outro adjacente e uma hipotenusa, que é o lado oposto ao ângulo reto.

A Lei dos Senos, determina que em um triângulo, a relação do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo, ou seja, a Lei dos Senos demostra que num mesmo triângulo a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto será sempre constante.

 Assim, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos é representada pela seguinte fórmula:

Observação: quando o  triângulo não for retângulo, ou seja, com ângulo interno de 90º,  e  acutângulos , com ângulos menor que 90º ou obtusângulos , com ângulos maiores que 90º, devemos utilizar as Leis dos Senos e dos Cossenos.

Exemplo:

1)    Determine o valor de x no triângulo a seguir.

Observe que : sen120º = sen(180º – 120º) = sen60º = √3/2 ou 0,865

sen45º = √2/2 ou 0,705.

Arquivo em: matemática

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