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sexta-feira, 21 de agosto de 2015

Permutação

Em agrupamentos que podem ser formados por um certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um agrupamento e outro seja apenas pela mudança de posição entre seus elementos, recebe o nome de permutação simples. Em outras palavras, permutação é uma das formas de se combinar os elementos de um determinado grupo.

Por exemplo:

As permutações simples dos elementos de 1,2,3 são:

123, 132, 213, 231, 312, 321

Vamos calcular algumas permutações através de fatorial.

Definição de fatorial:

n! = n.(n – 1). (n – 2). (n – 3)...3.2.1

Exemplos:

1) Determine o número de anagramas da palavra LIVRO.

Observe que a palavra LIVRO tem 5 elementos distintos.

Assim:

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 ( 120 anagramas )

Pois, para a primeira posição podemos colocar 5 letras, para a segunda 4, para a terceira 3, para a quarta 2 e para a quinta 1.

2) Determine o número de anagramas da palavra AMOR.

Observe que a palavra AMOR tem 4 elementos distintos.

Assim:

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 ( 24 anagramas )

Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 . 3 . 2 . 1 = 24 ( 24 anagramas ou possibilidade)

Veja alguns anagramas:

ROMA, AMRO, MARO, etc.

Observe: Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição.

3)Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ORDEM?

Observe que a palavra ORDEM possui 5 letras distintas.

Assim:

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 ( 120 anagramas )

Pois, para a primeira posição podemos colocar 5 letras, para a segunda 4, para a terceira 3, para a quarta 2 e para a quinta 1.

Quando houver repetição de letras

Se houver repetição de letras, devemos dividir o resultado pelo fatorial da quantidade de letras repetidas:

Por exemplo:

CANOA

A palavra CANOA tem 5 letras, entretanto, 2 letras são iguais.

5! = 5.4.3.2.1 = 120

Devemos fazer:

120/ 2! = 60 anagramas para CANOA.

por: Dan. S.

quinta-feira, 20 de agosto de 2015

ANAGRAMAS

O que é Anagrama?

Anagrama é a construção de várias palavras a partir de uma primeira palavra, em que é alterada a sua ordem original trocando as letras de lugar. Na Matemática, através da permutação, é possível descobrir quantas combinações uma palavra pode ter.

Obs: Os anagramas estão diretamente ligados a análise combinatória e aos cálculos feitos para alcançar o número possível de trocas de letras.

Permutação

Em agrupamentos que podem ser formados por um certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos, recebe o nome de permutação simples.

Por exemplo:

As permutações simples dos elementos de 1,2,3 são:

123, 132, 213, 231, 312, 321

Pn é a permutação simples de n elementos distintos, podemos calculá-la através da seguinte fórmula:

Pn = n!

Anagramas

Exemplos:

1) Determine o número de anagramas da palavra LIVRO.

Observe que a palavra LIVRO tem 5 elementos distintos.

Assim:

P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 ( 120 anagramas )

Pois, para a primeira posição podemos colocar 5 letras, para a segunda 4, para a terceira 3, para a quarta 2 e para a quinta 1.

2) Determine o número de anagramas da palavra AMOR.

Observe que a palavra AMOR tem 4 elementos distintos.

Assim:

P4 = ! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 ( 24 anagramas )

Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 . 3 . 2 . 1 = 24 ( 24 anagramas ou possibilidade)

Veja alguns anagramas:

ROMA, AMRO, MARO, etc.

Observe: Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição.

3)Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ORDEM?

Observe que a palavra ORDEM possui 5 letras distintas.

Assim:

P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 ( 120 anagramas )

Pois, para a primeira posição podemos colocar 5 letras, para a segunda 4, para a terceira 3, para a quarta 2 e para a quinta 1.

por: Dan.S.

veja também:

· principio-fundamental-da-contagem

· fatorial

permutacao

Lei dos Cossenos

Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos é uma das leis da Trigonometria. A trigonometria é a área da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados de um triângulo, formado por dois catetos, ou seja, dois lados, um oposto e o outro adjacente e uma hipotenusa, que é o lado oposto ao ângulo reto.

A Lei dos Cossenos mostra que: em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles.

Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:

Observe que: O quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles ( para qualquer triângulo).

Exemplos:

1) Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x.

a² = b² + c² – 2 * b * c * cosalfa

6² = x² + 5² – 2 * 5 * x * cos60º

36 = x² + 25 – 10* x * 0,5

36 = x² + 25 – 5x

x² –5x +25 -36 = 0

x² –5x - 11 = 0

Observe que x² –5x - 11 = 0 é uma equação do segundo grau, então vamos usar o método resolutivo da equação do segundo grau.

x’ = 13,3 e x” = – 3,3, como se tratar de medidas descartamos x” = –3,3 e utilizamos x’ = 13,3. Dessa forma o valor de x no triângulo é 13,3 cm

obs: utilizei o método de de completar quadrados para encontrar as raízes da equação do segundo grau.

2) um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 5cm, AC = 6cm e BC = 4cm. Determine a medida do ângulo A.

Usando a lei dos cossenos

Lembrando que:

a = 6, b =5 e c = 4

6² = 5² + 4² – 2 * 5 * 4 * cos A

36 = 25 + 16 – 40 * cos A

36 – 25 – 16 = –40 * cos A

–5 = –40 * cos A

-5/-40 = cos A (“ - com – na divisão é igual a +”)

cos A = 0,125

observação: O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,125 mede aproximadamente 83 graus ( 83 graus = 0,1219).

Por: Dan. S.

veja também :

· seno-cosseno-e-tangente-de-151-200

· mediana-bissetriz-e-altura-de-um triângulo

· lei-dos-cossenos

· lei-dos-senos

· o-que-e-um-poligono-regular-e-o-que-e não regular

· o-que-e-poligono-convexo-e-o-que-e não convexo

· as-formas-planas

· formas-planas-e-nao-planas

Lei dos Senos

Lei dos Senos

A Lei dos Senos é uma das leis da Trigonometria. A trigonometria é a área da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados de um triângulo, formado por dois catetos, ou seja, dois lados, um oposto e o outro adjacente e uma hipotenusa, que é o lado oposto ao ângulo reto.

A Lei dos Senos, determina que em um triângulo, a relação do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo, ou seja, a Lei dos Senos demostra que num mesmo triângulo a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto será sempre constante.

Assim, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos é representada pela seguinte fórmula:

Observação: quando o triângulo não for retângulo, ou seja, com ângulo interno de 90º, e acutângulos , com ângulos menor que 90º ou obtusângulos , com ângulos maiores que 90º, devemos utilizar as Leis dos Senos e dos Cossenos.

Exemplo:

1) Determine o valor de x no triângulo a seguir.