DIVISÃO

REVISÃO DE:

Divisão de números naturais, Divisão Exata, O zero na divisão, Divisão não exata, Divisão por 10, 100 e 1000, Divisão de números inteiros.

Divisão de números naturais

Divisão Exata

Considere dois números naturais dados em uma determinada ordem.

Veja :

15 o primeiro e 3 o  segundo

Obs 1: Se dividirmos  15 que é numero natural  por 3 ( outro numero natural) vamos obter o número 5, ou seja, outro número natural.

Obs 2: Se multiplicarmos 5 por 3 iremos obter  15.

Obs 3: os números  apresentados são todos naturais.

Assim :

15 : 3 = 5  e  5 x 3 = 15 ( são todos números naturais )

Obs: 5 x 3 = 15  observe que o  terceiro número natural multiplicado pelo segundo dá como resultado o primeiro.

Símbolos  da  operação divisão:

1 O primeiro símbolo é bastante utilizado em frações  ( ou uma barra deitada).

2 O segundo símbolo é utilizado por crianças do ensino fundamental.

3 O terceiro símbolo é utilizado por crianças do ensino fundamental.

Assim temos :

15 : 3 = 5 e  5 x 3 = 15

Na divisão: 15 : 3 = 5

Onde:

            15 é o dividendo

            3 é o divisor

            5 é o quociente.

obs 1: Numa divisão exata de dois números naturais, o quociente é um número inteiro e o resto é igual a zero.

Obs 2:  As vezes chamamos a operação da divisão de quociente.

O zero na divisão

Quando temos o dividendo igual a zero e o divisor diferente de zero o quociente é zero ( é sempre zero).

Exemplos:

1)        0 : 10 = 0, porque 0 x 10 = 0

2)        0 : 1000 = 0, porque 0 x 1000 = 0

Obs:   Não existe divisão por zero.

Exemplo:

10 : 0 = não existe, pois nenhum número x 0 não existe.

Obs: O divisor tem que ser sempre diferente de zero.

Divisão não exata

A divisão exata nem sempre é possível com números naturais N.

Veja um exemplo:

   13 :  2  ( 13 dividido por 2 não é uma divisão exata )

 Assim:   

                      

O dividendo  é igual a 13   e  o divisor é igual a  2    (   o resto é   1 e o quociente é  6 )

     Observe que:

13(dividendo) = 2 (divisor) x 6 (quociente) + 1 (resto)

Ou seja:

Dividendo = divisor x quociente + resto

    Obs: Em uma  divisão o reto é sempre menor que o divisor.

Exercícios

. Calcule as divisões

a)        84 : 2 =

b)        39 : 3 =

c)        16 : 6 =

d)        226 : 3 =

e)        686 : 2 =

f)         93 : 3 =

g)        33 : 3 =

h)        555 : 5 =

i)         162 : 2 =

Divisão por 10, 100 e 1000

Na divisão por 10, 100, 1000, basta deslocar a vírgula o número de vezes igual ao número de zeros para a esquerda.

Obs: Se o número for inteiro, devemos considerar que a vírgula está a seguir ao último algarismo da direita.

Veja abaixo:

Divisão por 10

Na divisão por 10, basta deslocar a vírgula o número de vezes igual ao número de zeros para a esquerda, nesse caso, devemos deslocar a vírgula 1 vez para a esquerda.

Exemplos:

234 : 10 = 23,4

5 : 10 = 0,5

3 : 10 = 0,3

12 : 10 = 1,2

15 : 10 = 1,5

100 : 10 = 10,0  

30 : 10 = 3,0

Divisão por 100

Na divisão por 100, basta deslocar a vírgula 2 vezes para a esquerda.

Exemplos:

23 : 100 =  0, 23

4 : 100 = 0,04

20 : 100 = 0,2

50 : 100 = 0,5

80 : 100 = 0,8

100 : 100 = 1,00

1000 : 100 = 10,00

Divisão por 1000

Na divisão por 1000, basta deslocar a virgula 3 casa para a esquerda.

Exemplos:

2000 : 1000 = 2,000

2 : 1000 =  0,002

50 : 1000 = 0,05

20 : 1000 = 0,02

15 : 1000 = 0, 015

25 : 1000 = 0,025

A Divisão por 10, 100, 1000, 10000...

Um número é divisível por 10, 100, 1000 ou 10000 ou quantos  “ 0”  forem a direita, quando o número tiver  terminação em “ 0” com suas quantidades respectivas de “ 0”.

Ou seja, um número para ser divisível por 10,100, 1000, 10000,  etc, precisa terminar em “ 0”, com suas quantidades respectivas à direita.

Exemplos:

1)    100

é divisível por 10 e por 100

pois 100÷10 = 10, 100÷100 =1

2)    1000

é divisível por 10, 100 e por 1000

pois 1000÷10 = 100, 1000 ÷ 100 = 10, 1000 ÷1000 = 1

3)    10000

é divisível por 10, 100, 1000 e por 10000

pois 10000 / 10 = 1000, 10000/100 = 100, 10000/1000 =10,

10000/10000 = 1

Divisão de números inteiros

Na divisão de Positivo / Negativo

Na divisão de um número positivo com um número negativo, o resultado é negativo.

Exemplos:

1)9/(-3) =-3

2)8/(-2) =-4

Obs: o sinal de negativo permanece.

Na divisão de Negativo / Positivo

Na divisão de um número negativo com um número positivo,  o resultado é  negativo.

Exemplos:

1)-4/2=-2

2)-6/2=-3

 Obs: o sinal de negativo permanece.

Na divisão de Negativo / Negativo

Na divisão de dois números negativos, o resultado é positivo.

Exemplos:

-4/(-2) =+2

-6/(-2) =+3

Obs: Na divisão -/- = +.

Na divisão de Positivo / Positivo

Na divisão de dois números positivos, o resultado é  positivo.

Exemplos:

1)4/2=2

2)6/3=2

Obs: Na divisão + / + = +.

Por: Dan.S.

Equações do 1º grau com uma incógnita

Equações do 1º grau com uma incógnita

Introdução às igualdades 

  A expressão: 10 - 2 + 6 - 2 envolve apenas números. Essa expressão é uma expressão Aritmética. 
 Você já deve ter conhecido as operações fundamentais e suas propriedades. A parte da matemática que trabalha com essas expressões é a Aritmética.

  As expressões: 

a)2x + 3 o dobro de um número é somado a 3
b)x + 2x + 2 um número adicionado ao dobro de outro número somado a 2

 Muitas vezes somos obrigados a combinar letras com números. Essa parte da matemática em que usamos letras é chamada de Álgebra.

Sentença matemática

 No cotidiano usamos sentenças para nos comunicar em conversas e na linguagem escrita. 
 Na matemática, também usamos sentenças, para fazer afirmações sobre números. Em sentenças matemáticas, usamos símbolos no lugar de palavras. A seguir são apresentados alguns símbolos:

= ( igual a )   ≠  ( diferente de )   > ( maior que ) < ( menor que )

Igualdade

 Denominamos de 1° membro os termos da igualdade que aparecem à esquerda do sinal da igualdade, o 2° membro, os termos à direita do sinal da igualdade.

 exemplo: 
3 + 2 = 5       3 + 2 ( primeiro membro )  e  5 ( segundo membro )

princípios 

1) Quando adicionamos aos dois membros de uma igualdade um mesmo número, obtemos uma nova igualdade.

    exemplo: 

3 + 2 = 5  quando adicionamos o número 2 na expressão (3 + 2) + 2 = (5) + 2 
obtemos respectivamente 7 no primeiro membro e 7 no segundo membro
   
 2) Quando  multiplicamos os dois números da igualdade por um mesmo número, diferente de zero, obtemos uma nova igualdade.
     
   exemplo :

3 + 2 = 5 quando multiplicamos os dois membros por 2 na expressão (3 + 2)2 = (5)2
obtemos respectivamente 10 no primeiro membro e 10 no segundo membro 

equação de 1° grau: definição

   Equação  é toda sentença matemática representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam o valor de um termo desconhecido, que será representado por uma letra(incógnita), cuja representação mais usual se dá por x, y e z. O prefixo equa, em latim quer dizer "igual". 

equação  geral do primeiro grau:

ax + b = 0   (a e b são números conhecidos e a ≠ 0)

subtraindo b dos dois lados obtemos:

ax = -b

agora dividimos por a os dois termos:

x = -b

       a

    conjunto universo e conjunto verdade de uma equação

       

        1 Considere o conjunto b = {0, 1, 2, 3, 4,} e a equação 3 + x = 6.

          O número 3 do conjunto b é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa equação.

          2 Os números inteiros que satisfazem a equação x² = 4

          O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.

          Os números -2 e 2, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {-2, 2}.  

   observe:

   O conjunto de todos os valores que a variável pode assumir  é o Conjunto Universo. 

   O conjunto dos valores de U, que tornam a equação verdadeira é o Conjunto verdade. 

   O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.

   O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S.

   raízes da equação

        As raízes da equação são os elementos do conjunto verdade   .

    Para verificar se um número é raiz de uma equação:

           

         Substituímos a incógnita por esse número;

         Damos os valores de cada membro da equação;

         Verificamos a igualdade, se for uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.

          

       exemplos:

qual dos elementos do conjunto B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, } podemos colocar no lugar da letra x para torna a sentença verdadeira 2 + x = 4 ?

2 + x = 4   = 2 + (0) = 4 F

2 + x = 4   = 2 + (1) = 4 F

2 + x = 4   = 2 + (2) = 4 V

2 + x = 4   = 2 + (3) = 4 F

Observe o elemento é o número 2; pois os outros não tornam a sentença verdadeira.

Nas equações temos: 

1) Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incógnitas;

2) Um sinal de igualdade, denotado por =.

3) Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro e uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro.

 exemplos:

a) equação com uma incógnita representada pela letra x.

   

 10x + 5 = 10 

b) equação com uma incógnita representada pela letra y.

    

 12 + 2x = 14

c) equação com duas incógnitas representas pelas letras x e y. 

   

   y - x = 12  

não são equações:

a) 2² - 3 = 4 - 3 embora seja uma igualdade não apresenta incógnitas 

b) 2² -3 = 2² - 3 embora seja uma igualdade não apresenta incógnitas

c) 2 + x  > 12 embora apresente elementos desconhecidos, não apresenta uma igualdade

 resolução de equação do 1° grau com uma incógnita: 

A resolução de uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do conjunto universo considerado.

exemplo 1:

  para resolver uma equação: Insolamos no 1° membro os termos da equação que apresentam a incógnita e, no 2° membro, os termos que não apresentam a incógnita.

veja:

se U = Q ( Q - Conjunto dos números Racionais = todo numero que pode ser escrito na forma a/b, com a , b pertencente ao conjunto Z e b diferente de 0 ; frações, números decimais...)

3x + 5 = 2 - 2x

3x + 2x = 2 - 5   3x + 2x primeiro membro  2 - 5 segundo membro 

5x = -3                           

x = -3                           

      5

 -3  ∈ Q, então V = -3

  5                          5

1 (3x + 2x = 5x  é o  1° membro apresentando os termos da equação com incógnitas)

2 (2 - 5 = -3 é o 2° membro apresentando os termos da equação que não apresentam incógnitas)

3 ( 3x + 2x = 2 - 5 = 5x = -3 aplicamos as operações indicadas entre os termos semelhantes)

4 ( x = - 3/5 O coeficiente numérico da letra x do 1º membro deve passar para o outro lado, dividindo o elemento do 2º membro da equação)

 para saber se a sentença é verdadeira 

 É  feita substituindo o valor de x na equação, observe: 

3x + 5 = 2 - 2x

substituindo x = -3/5 => -0,6 

3(-3/5)+ 5 = 2 - 2(-3/5)

3,2 = 3,2      sentença verdadeira 

Todas as equações podem ser resolvidas dessa maneira. 

exemplo 2:

2x – 2x + 5 = 5 + 2x – 20 

2X - 2X -2X = 5 - 5 -20   

-2X = -20

X = -20

       -2

X = 10

  2x - 2x - 2x primeiro membro  5 - 5 - 20 segundo membro  Insolamos no 1° membro os termos da equação que apresentam a incógnita e, no 2° membro, os termos que não apresentam a incógnita.

para saber se a sentença é verdadeira 

 É  feita substituindo o valor de x na equação, observe: 

2X - 2X + 5 = 5 + 2X -20

substituindo x = 10

-2.10 = -20

-20 = -20 sentença verdadeira

exemplo 3:  

 2 . (4x - 4) = 3 . (3x - 1).      → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação 

 2 . 4x - 2  . 4 = 3 . 3x - 3 . 1

8x - 8 = 9x - 3 

8x - 9x = - 3 + 8 

-x = 5

x = -5 

para saber se a sentença é verdadeira 

 É  feita substituindo o valor de x na equação, observe:  

2 . 4x - 2  . 4 = 3 . 3x - 3 . 1

substituindo x = -5

8(-5) - 8 = 9(-5) - 3 

-40 - 8 = - 45 - 3

-48 = -48

Exercícios resolvidos; Equação de primeiro grau 

1) resolva os exercícios abaixo:

a) Encontre o conjunto solução da equação 5x + 8 = 18.

5x + 8 = 18

5x = 18 - 8 os elementos que tem incógnitas no primeiro membro; os que não tem incógnitas no segundo      membro

5x = 10

x = 10   = 2

       5                          

portanto: S = {2} 

                        

b) Encontre a raiz da equação 8x -12 = - 4x .

8x -12 = -4x

8x + 4x = 12

12x =  12

x =  12    = 1

       12                          

portanto: a raiz é  1

                            

c) U = {4,6,8 } é o cojunto universo da equação 5x - 10 = 0. qual é o conjunto verdade(ou conjunto solução)  desta equação?

5x - 10 = 0

5x = 10

x = 10

      5

x = 2

portanto:  U não é o conjunto universo da equação.

d) Encontre o conjunto verdade da equação 4x = -6 + 2x .

4x = -6 + 2x

4x -2x = -6

2x = -6

x =  -6

        2

x = -3

portanto: V = { -3 } é o conjunto solução da equação. 

e) -6 é raiz da equação x + 10 = 4?

x + 10 = 4

x = 4 -10

x = -6

portanto: sim, pois -6 é raiz da equação.

2) exercícios:

a) Dada a equação x + 6 = 2(x -2). Como descobrir x ?

    x + 6 = 2(x - 2)

    x + 6 = 2x - 4 pela propriedade da distributiva

    x - 2x = -4 -6

   -x = -10

    x = 10  

portanto: o valor de x é 10.


por: Dan. S.