MMC e MDC

  O  minimo múltiplo comum de dois ou mais números é o menor múltiplo positivo e diferente de zero comum a todos eles.

  algumas observações importantes:

  1) zero é múltiplo de todos os números naturais.

  2) um número tem infinitos múltiplos.

  3) números primos entre si

         

   Exemplo:

         Os números 20 e 21 são números primos entre si, pois m.d.c (20,21) = 1. (pois o 1  é o único divisor comum ao 20 e ao 21)

         Os números 4 e 8 não são números primos entre si, pois m.d.c (4,8) = 8.(Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1).

 minimo múltiplo comum 

    Dois ou mais números sempre tem múltiplos comuns entre eles.

  Observe:

  Vamos encontrar os  múltiplos comuns de 4 e 8

múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...

múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, ...

   São  múltiplos comuns de 4 e 8 : 0, 8, 16, 24, ... entre esses múltiplos, diferentes de zero, 8 é o menor entre eles. Portanto 8 é o múltiplo comum de 4 e 8.

   Exemplo:

 M (10) = 0, 10, 20, 30, 40, ...

 M (20) = 0, 20, 40, 60, 80, ...

     O m.m.c entre 10 e 20 é 20 ( pois o  menor múltiplo comum entre eles é o  20 ).

  -  Segunda forma de encontrar o m.m.c. Através da fatoração vamos encontrar o m.m.c entre 10 e 20. Nessa forma devemos escolher  os fatores comuns de maior expoente e termos não comuns.

     Primeiro: decompomos os números em fatores primos.

   segundo: o m.m.c é o produto dos fatores comuns e não-comuns.

     10 = 2 x 5

     20 = 2 x 2 x 5

Agora escrevemos a fatoração dos números em forma de potência, temos:

    10 = 2 x 5

    20 = 2² x 5 

  m.m.c(10;20) = 2² x 5 = 20

   O m.m.c. de dois ou mais números é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

- Terceira forma de encontra o m.m.c.

      Decomposição simultânea  

É o processo em que decompomos todos os números ao mesmo tempo. O produto dos fatores primos encontrados nessa decomposição é o m.m.c

     exemplo:

 m.m.c ( 10, 20, 30 )

portanto: m.m.c (10,20,30) = 2 x 2 x 5 x 5 = 100

 M.D.C (máximo divisor comum)

Os divisores comuns de 8 e 12  são 1, 2, 4. Entre eles, 4 é o máximo divisor comum de 8 e 12 e indicamos por  m.d.c (8,12) = 4. Dois números naturais sempre têm divisores comuns. o maior divisor comum entre dois números ou mais é chamado de máximo divisor comum entre esses números.

 
 m.d.c entre os números 10 e 20

 D(10) = 1, 2, 5, 10

 D(20) = 1, 2, 5, 10

O maior divisor comum dos números 10 e 20 é 10.

 exemplos:

  m.d.c (4,6) = 2

  m.d.c (6,12) = 6 

  m.d.c (6,12,15) =3

cálculo do m.d.c

    Podemos também determinar o m.d.c de dois ou mais números através da fatoração. O m.d.c de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns entre eles cada um elevado ao menor expoente. Utilizando esse método:

     m.d.c (10;20)

    10 = 2 x 5

    20 = 2² x 5

 
    m.d.c (10,20) = 2 x 5 = 10


Por: Dan. S.

Conjunto dos números irracionais

Conjunto dos números irracionais

Os números irracionais são os números reais que não são racionais, ou seja, o conjunto de números irracionais é o complemento do conjunto de números racionais. 

São números irracionais:

√2 = 1,4142135 ...

√3 = 1,7320508 ...

√5 = 2,2360679 ...

√8 = 2,8284271 ...

√11 = 3,31662479 ...

Observações:

Obs1: As raízes acima não são exatas.

Obs2: Os números irracionais possuem a principal característica de não possuírem representação na forma fracionária.

Obs3: Os números decimais infinitos não periódicos,  que sua composição à direita da vírgula não admite formação de períodos são números irracionais.

Dentre os mais importantes números irracionais mais temos:

-O número π (pi = 3,14 aproximado).

- O número de Euler (e = 2,71 aproximado).

- O número de ouro (Φ = 1,61 aproximado).

Obs: Raízes referentes a números que não tem quadrados perfeitos  são consideradas irracionais.

Média aritmética ponderada

Média aritmética ponderada

Ao contrario da média simples, a média aritmética ponderada calcula a média quando os valores possuem pesos diferentes.

- Você fez 4 provas e cada uma com as seguintes notas:

Primeira = 6 , segunda = 7, terceira =  8, quarta = 7.

Imagine que cada uma das notas escolares tem um peso distinto. Uma primeira prova tem peso 2, a segunda peso 3, a terceira peso 2 e a quarta peso 3.

 Como calcular ?

Primeiro - Multiplica-se o valor pelo seu peso.

Segundo - Soma aos resultados das outras multiplicações e então divide-se pela soma de todos os pesos.

Por exemplo:

6.2 + 4.3 +  8.2 + 7.3 / 2 + 3 + 2 + 3 =

 12 + 12 + 16 + 21 / 10 = 6,1

Mais exemplo:

Imagine que você fez 4 provas:

Primeira = 5 , segunda = 5, terceira =  7, quarta = 7.

Imagine que cada uma das notas escolares tem um peso distinto. Uma primeira prova tem peso 2, a segunda peso 3, a terceira peso 2 e a quarta peso 3.

5.2 + 5.3 +  7.2 + 7.3 / 2 + 3 + 2 + 3 =

 10 + 15 + 14 + 21 / 10 = 6

Se a média pra passa de ano for 6, você foi aprovado, se for maior que 6, você foi reprovado. 

Conjunto dos números racionais (Q)

Conjunto dos números racionais (Q)

Os números racionais são todos os números que podem ser mostrados na forma de fração ou números decimais compostos por números inteiros, pertencentes ao conjunto dos números reais junto ao conjunto dos números irracionais .

Obs: O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula.

Exemplo de números racionais :

1/5 ou 0, 2

1/2 ou 0,5

3/4 ou 0,6

-1/2 ou -0,5

Obs: Os números 1/ 5, 1/2, 3/4  estão na forma a/b com a,b pertencente a Z e b diferente de 0.

Observações  sobre os números racionais:

Obs 1: Os número decimal exato é  número racional.

Obs 2: As dízimas periódicas é um número racional.

Obs 3: Todo número inteiro é um número racional.

Números decimais com finitas ordens decimais:

1)1 / 10 = 0, 1

2)3/100 = 0, 03

3)-3/100 = -0,03

4)25/100 = 0,25

5)-25/100 = -0,25

 Número decimal com infinitas ordens decimais periódica:

1)1/3 = 0,3333333...

2)5/11 = 0,45454545...

3)4/11 = 0,36363636...

Obs: São dízimas periódicas simples ou compostas.

 Demonstração através da utilização de diagramas:

Obs: Todo número inteiro é um número racional, portanto, o conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto do conjunto dos números racionais (Q).

por: Dan. S. 

Números Reais

Números  Reais

Os Números Reais é representado pela letra maiúscula R e inclui os seguintes conjuntos:

Números Naturais : N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9,...}

Números Racionais : Q = {...1/2, 3/4,...}

Números Irracionais : I = {...,√2 = 1,41( aproximado), √3 = 3,14(pi aproximado)...}

Números Inteiros : Z= {...,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}

Obs: As letras maiúsculas representam os conjuntos numéricos.

Representação da união dos conjuntos:

Os números reais podem ser representados por qualquer número pertencente aos conjuntos da união acima.

Em que:

R: Números Reais

N: Números Naturais

Q: Números Racionais

I: Números Irracionais

Z: Números Inteiros

Usamos a expressão abaixo para representar a união dos conjuntos.

R = N U Z U Q U I ou R = Q U I

Em que:

U: União

R: Números Reais

N: Números Naturais

Z: Números Inteiros

Q: Números Racionais

I: Números Irracionais

por: Dan. S.