Fatoração de um numero natural

Fatoração de um numero natural

Primeiro - Através da multiplicação de números primos podemos escrever os números naturais.

Segundo - A decomposição de um número pode ser feita através da divisão desse numero pelos seguintes números:

2,3,5,7,11,13,...

Veja alguns exemplos de decomposição:

Vamos decompor os seguintes números em fatores primos 10, 20, 30, 122.

10

Observe que: 10 = 5 x 2

Lista: 2,3,5,7,11,13.

Observe que 10 pode ser dividido por 2, então foi dividido por 2, se fosse 15 seria dividido por 3 que vem antes do 5 ( obs: se um número for divisível por 3 e por 5, use primeiro o número 3 )

20

observe que: 20 = 2 x 2 x 5

(Lista: 2,3,5,7,11,13)

Observe que 20 pode ser dividido por 2, então foi dividido por 2.

Obs: Devemos tentar dividir por 2, depois por 3, depois por 5, depois por 7, assim por diante ( observe que testamos do menor para o maior).

30

 

Observe que: 30 =  2 x 3 x 5

(Lista: 2,3,5,7,11,13)

Observe que 30 pode ser dividido por 2, então foi dividido por 2.

Obs: Devemos tentar dividir por 2, depois por 3, depois por 5, depois por 7, assim por diante ( observe que testamos do menor para o maior).

144

Observe que: 144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3

(Lista: 2,3,5,7,11,13)

Observe que 144 pode ser dividido por 2, então foi dividido por 2.

Obs: Devemos tentar dividir por 2, depois por 3, depois por 5, depois por 7, assim por diante ( observe que testamos do menor para o maior).

por: Dan. S.

Regras de divisibilidade

Números divisíveis por 1

Todo número é divisível por 1.

Exemplo:

0,1,2,3,4... ;

0,-1,-2,-3,-4...

Números divisíveis por 2:

Quando um números termina  em  0, 2, 4, 6 ou 8 dizemos que ele é divisível por 2.

Obs: Todo número par é divisível por 2.

Exemplos:

1)2, 4, 6, 8, 10,12...

2) 2040 é divisível por 2, pois termina em 0.

3) 137 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Números divisíveis por 3:

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

Quando somarmos os algarismos de um número e  o  número  é  divisível por 3. Veja:

 Exemplo:  144 = 1+4+4 = 9 ( é divisível por 3)

 Números divisíveis por 4:

São os números em que os últimos dois algarismos é divisível  por 4,00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

Exemplos:

800 é divisível por 4, pois termina em 00.

112 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4.

124 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.

730 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 30 não é divisível por 4.

Números divisíveis por 5:

São os números terminados em 0 ou 5.

Exemplos:

1) 25 é divisível por 5, pois termina em 5;

2) 80 é divisível por 5, pois termina em 0;

3) 17 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

Números divisíveis por 6:

São todos os números divisíveis por 2 e 3 ao mesmo tempo.

Exemplos:

1) 612 é divisível por 6, porque é divisível por 2  e por 3;

2) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2  e por 3;

3) 116 não é divisível por 6, é divisível por 2, mas não é divisível por 3.

Números divisíveis por 8:

Divisibilidade por 8

São os  números em que os três últimos algarismos sejam 0 ou divida por 8.

 Exemplo: 3112 e 112 é divisível por 8

Mais exemplos:

1) 6000 é divisível por 8, isso por que termina em 000.

2) 3112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.

4) 3162 não é divisível por 8, pois 162 não é divisível por 8.

Números divisíveis por 9:

A soma dos algarismos do número tem que ser divisível por 9 ( a soma dos valores absolutos dos seus algarismos tem que ser divisível por 9).

Exemplo :

 3744 = 3+7+4+4 = 18

Esse número é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos são 3+7+4+4 = 18 e 18 é divisível por 9.

 Números divisíveis por 10:

Todo número terminado em 0 é divisível por 10.

Exemplos:

1) 150 é divisível por 10, pois termina em 0.

2) 103 não é divisível por 10, pois não termina em 3 não em 0.

por: Dan. S.

Sistemas lineares

Sistemas lineares

Um sistema de equações lineares, abreviado como sistema linear é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis. Os sistemas lineares são úteis em todos os campos, nas engenharias, na física, na biologia, na química, na economia, etc.

São equações lineares:

1)    5x – 7y = 9  é uma equação linear nas incógnitas x e y.

2)    2x + 5y – z = 10 é uma equação linear na incógnitas x, y e z.

3)    2x + 3y – 4z – t = 4  é uma equação linear nas incógnitas x, y, z e t.

De modo geral, uma equação linear  é escrita na forma:

a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ an = b

Em que: x1, x2...xn são incógnitas, a1, a2, a3, ..., an são números reais que recebem o nome de coeficientes das incógnitas e b termo independente.

Não são equações lineares:

xy - 2z + t = 6 ( não é uma equação linear porque ocorre uma multiplicação de incógnitas )

x^2- 5y = 2t – 3 ( ^é expoente ) ( não é uma equação linear pois ocorre o quadrado )

Sistemas de equações lineares

O conjunto S de e m equações lineares em n incógnitas é dada por:

S=     

 

Obs: Um conjunto de equações lineares forma um sistema linear.

Exemplos :

1)

3x + 4y = 8

x – 2y = 4

Esse é um sistema linear com duas equações e duas incógnitas.

2)

7x – 2y – 3z = 12

2x + 5y + 7z = 18

Esse é um sistema linear com duas equações e três incógnitas.

3)

x + 3y + 5z = 10

2x – 7y  + 4z = 8

x + 2y + z = 20

Esse é um sistema linear com três equações e três incógnitas.

4)

2x+ 3 y + z + w = 36

x +4 y +3z + 2w = 22

2x + y  + 5z  - 3w =  20

Esse é um sistema linear com três equações e quatro incógnitas.

Solução de um sistema linear

Quando ( alfa1, alfa2, alfa3, ... alfan ) é solução de cada uma das equações do sistema, dizemos que ( alfa1, alfa2, alfa3, ... alfan ) é solução do sistema linear.

Veja :

1)    4 e 1 é solução do sistema

2x + 3y = 11

5x – 4y = 16

, pois

2.4 +3.1 = 11

5.4 – 4.1 = 16

2)    3 e 2 é solução do sistema

4x + 2y = 16

3x – 2y = 5

, pois

4.3 + 2.2 =16

3.3 – 2.2 =5

3)    1, 2 e 3 é solução dos sistema

x + 3y + 2z = 13

2x – y – 2z = -6

x – y + z = 2

, pois 

1 + 3.2 + 2.3 = 13

2.1 – 2 – 2.3 = -6

1 – 2 + 3 = 2

4)    X=2 e y=3 não é solução do sistema

3x + 6y = 23

2x – 3y = -8

, pois

3.2 + 6.3 = 23

2.2 – 3.3 = -5

Classificação de um sistema linear

Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas.

(SPD)  Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.

(SPI ) Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.

(SI) Sistema Impossível – não possui solução.

Por : Dan. S.

Matriz diagonal

É muito  frequente o aparecimento dos  números em sequência  retangulares ordenadas, conhecidas como matrizes na matemática e suas aplicações.

É chamada de matriz m x n no conjunto dos números reais R, onde m e n são números inteiros maiores ou iguais a 1, a tabela formada por m x n elementos aij, í = 1,2,3...,m e j = 1,2,3...,n que são dispostos em m linhas e n colunas ( i são linhas e j são colunas).

Representação genérica de  uma matriz 

Obs 1: Essa é a representação genérica de uma matriz  A do tipo m x n.

Obs 2: É chamada de matriz m x n, toda tabela de números dispostos em m linhas e n colunas; essas tabelas devem ser representadas entre parêntese ( ), colchetes [ ] ou barras duplas // // (na vertical).

Os elementos da A = aij ( símbolo da matriz acima ) em que i é i-énesima linha e j é j-ésima coluna, podem ser representada pela notação abaixo:

A =

Obs: Como a representação da matriz genérica é muito extensa ela pode ser representada pela essa segunda notação.

É:

 Matriz diagonal

Seja uma matriz quadrada de ordem n, se os elementos abaixo e acima da diagonal principal dessa matriz forem todos nulo, tal matriz é uma matriz diagonal.

Veja:

obs: todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal devem ser iguais a zero.

por: Dan. S.

Matriz triangular

É muito  frequente o aparecimento dos  números em sequência  retangulares ordenadas, conhecidas como matrizes na matemática e suas aplicações.

É chamada de matriz m x n no conjunto dos números reais R, onde m e n são números inteiros maiores ou iguais a 1, a tabela formada por m x n elementos aij, í = 1,2,3...,m e j = 1,2,3...,n que são dispostos em m linhas e n colunas ( i são linhas e j são colunas).

Representação genérica de  uma matriz 

Obs 1: Essa é a representação genérica de uma matriz  A do tipo m x n.

Obs 2: É chamada de matriz m x n, toda tabela de números dispostos em m linhas e n colunas; essas tabelas devem ser representadas entre parêntese ( ), colchetes [ ] ou barras duplas // // (na vertical).

Os elementos da A = aij ( símbolo da matriz acima ) em que i é i-énesima linha e j é j-ésima coluna, podem ser representada pela notação abaixo:

A =

Obs: Como a representação da matriz genérica é muito extensa ela pode ser representada pela essa segunda notação.

Matriz triangular

Seja uma matriz quadrada de ordem n, se os elementos abaixo ou acima da diagonal principal  dessa matriz forem todos nulos, tal matriz é uma matriz triangular.

Veja:

Obs: toda matriz triangular é quadrada, entretanto nem toda matriz quadrada é triangular.

por: Dan. S.