TIPOS DE FRAÇÕES

DEFINIÇÃO DE FRAÇÃO

 Como representa a quantidade referente ao número 1 dividido em 4 partes iguais?

-Através de uma fração!

 1/4

Geralmente n/m é a representação genérica do valor n dividido por m partes iguais, com b diferente 0

 Em todas as frações, o elemento superior é chamado de numerador e o elemento inferior é chamado denominador.

Dessa maneira concluímos que :

uma Fração é a maneira de se representar uma quantidade a partir de um valor, que é dividido por um determinado número de partes iguais.

Tipos de frações

FRAÇÃO PRÓPRIA  

O  que é?

Uma fração própria é menor que um inteiro, ou seja, o numerador é menor que o denominador.

Se dividirmos o inteiro  em 4 parte iguais

pintando 3 partes teremos

A fração que representa a parte pintada é 3/4( fração própria, pois é menor que um inteiro) e a fração que representa  a parte que não foi pintada é 1/4( fração própria, pois é menor que um inteiro).

Obs : frações próprias são menores que um inteiro.

Para observa se uma fração é própria, observamos o numerador e o denominador:

Assim,

n/m é uma fração, em que n<m( n é o numerador e m é o denominador).


FRAÇÃO IMPRÓPRIA

Fração imprópria é maior que um inteiro, ou seja, o numerador é maior que o denominador.

A fração 4/3 é uma fração imprópria, pois 4 é maior que 3.

Observe:

Repartimos um inteiro em três partes e consideramos 4. Dessa maneira 4>3 ( 4 é maior que 3) e temos que construir mais um inteiro igual ao outro e completar a fração. 

1 inteiro mais 1/3

FRAÇÃO APARENTE


Uma fração aparente é uma forma  de fração imprópria, em que os numeradores são múltiplos dos denominadores, assim, ao dividirmos o numerador pelo denominador iremos obter um  inteiro.

Seja a fração 4/2 representando dois inteiros completos, temos 4/2 = 2

A fração representa dois inteiros completos, pois 4 : 2 = 2, assim considerada aparente. Veja a sua representação: 

veja também:

Como ler frações

Grandeza/proporcionalidade entre grandezas

Grandeza

   A grandeza é o conceito que descreve qualitativa e quantitativamente as relações entre as propriedades observadas no estudo da natureza (em sentido amplo). Grandeza é tudo aquilo que envolve medidas. Medir é comparar uma quantidade de uma grandeza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe um unidade padrão. Unidades de medidas  é um quantidade específica de uma determinada grandeza física e serve de padrão para comparações, as quais, usamos de padrão para outras medidas.

     Exemplos: o volume, a aria, o comprimento, o tempo, a capacidade, a massa são grandezas com unidades de medidas especificas.

Proporcionalidade entre as grandezas 

   

- Proporcionalidade é a relação entre as grandezas matemáticas.

  Os dois tipos de proporcionalidade entre grandezas são:

Grandezas diretamente proporcionais.

 - As grandezas aumentam ou diminuem proporcionalmente e simultânea. A consequência é que a razão entre as grandezas são constantes. Se, x, y e k são diretamente proporcionais aos números racionais a, b e c quando:

    

    x/a = y/b = k/c 

(a razão entre as grandezas são constantes)

Observe:

*RESERVATÓRIO DE ÓLEO 

TEMPO (mim)	DESLOCAMENTO DO ÓLEO (cm)
8	12
12	16
14	20
16	24
18	28

Observe o que acontece quando pegamos a razão entre um número da primeira coluna por sua correspondente na segunda coluna:

   8/12 = 2/3   12/18 = 2/3   16/24 = 2/3   20/30 = 2/3   

( todas as razões são iguais )

exemplos:

1)Verificar se 6, 12 e 32 são diretamente proporcionais aos números 12, 24 e 64.

            

     6/12 = 1/2 = 12/24 = 1/2 32/64 = 1/2

(sendo a razão 1/2,temos; 6, 12 e 32 são diretamente proporcionais a 12,24 e 64)

                                                   

         2) verificar  se 6, 12 e 32 são diretamente proporcionais aos números 10, 24 e 64.

     6/10 = 3/5  12/24  = 1/2  32/64 = 1/2    

( nem todas são  proporcionais; pois a razão 6/10 = 3/5  é diferentes das outras duas razões )

Grandezas inversamente proporcionais.

- Quando a grandeza aumenta a outra diminui proporcionalmente. Consequentemente, o produto entre as duas grandezas são constantes.

   x, y e k são inversamente proporcionais aos números racionais a, b e c, quando:   

  x*a=y*b=k*c  (o produto entre as grandezas são constantes)

observe:

*O DESLOCAMENTO DE UMA PESSOA

VELOCIDADE ( m/s )	TEMPO ( s )
4	60
8	30
12	20
16	15

observe o que acontece quando pegamos o produto de um número da primeira coluna pelo seu correspondente na segunda coluna:

a) 4*60 = 240 b) 8*30 = 240 c)12*20 = 240 d)16*15 = 240 

(todos os produtos são iguais)

1)verificando se 110, 40 e 20 são inversamente proporcionais aos números 4, 11 e 22.

110*4 =  440  40*11 =  440 20*22 = 440

( sendo o produto igual a 440, temos; 110, 40 e 20  inversamente proporcionais aos números 4, 11 e 22 )

   

 2)verificando se 110, 40 e 20 são inversamente proporcionais aos números 6, 11 e 22.

       110*6 = 660 40*11 = 440 20*22 = 440

  (110*6 =660 não é inversamente proporcional a 40*11= 440 e 20*22 = 440)

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 

Estamos carecas de saber que a  trigonometria é uma das áreas mais importantes da Matemática.  A trigonometria é aplicada em diversos estudos:

EXEMPLOS:

 Física, Engenharia, Navegação Aérea e Marítima, Astronomia, Topografia, Cartografia, Agrimensura, etc.

RELAÇÕES FUNDAMENTAIS

As relações fundamentais em um triângulo são:

seno, cosseno e tangente.

- Como isso funciona ?

Dado o triangulo abaixo, temos as seguintes relações trigonométricas:

Considerando o ângulo alfa, temos:

Considerando o ângulo beta, temos:

  
observe:

TABELA DE ÂNGULOS NOTÁVEIS

Por estarem presentes em diversas operações os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis. 

veja a tabela de ângulos notáveis abaixo:

Para outros ângulos, os valores podem ser obtidos através   de uma calculadora científica ou através de uma tabela.

veja também:

tabela/execante
tabela/excossecante
tabela/seno hiperbólico
tabela/cosseno hiperbólico
tabela/corda
tabela/cossecante
tabela/secante
tabela/cotangente
tabela/seno

tabela/tangente
tabela/tangente hiperbólico
tabela/cosseno

DERIVADA DA FUNÇÃO COSSENO/DEMONSTRAÇÃO

DERIVADA DA FUNÇÃO COSSENO/DEMONSTRAÇÃO

A analogia é a mesma para a função cosseno.

A analogia é a mesma para a função cosseno.

            RELACIONADOS :

CLIQUE

5 TABELA DE DERIVADAS BÁSICAS

veja a demonstração das  derivadas:

CLIQUE

1 COSECX

CLIQUE

2 COTGX

CLIQUE

3 SECX

CLIQUE

4 TGX

CLIQUE

6 SENX

CLIQUE

7 COSX

CLIQUE

PROPRIEDADES DOS LIMITES

Potenciação /expoente zero

Potenciação /expoente zero

  Usando potenciação e analisando a  propriedade do quociente (divisão)  entenderemos  a regra que diz que todo número elevado a zero é igual a um.

A potenciação é um caso específico de multiplicação, no qual todos os fatores são iguais:

Exemplos:

a)     10 X 10 X 10 X 10

b)    2 X 2 X 2 X 2

 A forma de facilita bastante a escrita dessa operação é colocar na parte superior do fato um expoente:

Exemplos:

a)      10 X 10 X 10 X 10 = 10⁴

b)     2 X 2 X 2 X 2 = 2⁴

Justificando que:

 Todo número diferente de zero elevado a zero é um.

  Usando a regra do quociente  entre potências de mesma base:

FIGURA 1

Sendo a (BASE)  diferente de 0

Obs: Não se define divisão por zero.

Qualquer número dividido por si mesmo é um( excluído o 0).

Obs: Isso não vale para o zero.

FIGURA 2

usando a regra do quociente chegamos na seguinte conclusão:

FIGURA 3

Dessa forma concluímos que:

  Todo número diferente de zero elevado a zero é um.

FIGURA 4