números primos

Os números primos pertencem ao conjunto dos números naturais não nulos e têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo, que produzem como resultado um número também natural.

observe:

  . São números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... Como se pôde observar, com exceção do 2, todos os demais números primos são ímpares. Observe também que essa definição exclui o 1 como primo (o número 1 não é um número primo, pois o mesmo não apresenta dois divisores distintos).

para saber se um número é primo  

   exemplos:

             
             5 tem apenas os divisores 1 e 5, portanto 5 é um número primo.
             2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo ( 2 é o único número primo par).
             8 tem os divisores 1, 2, 4 e 8, portanto 8 não é um número primo.

       

 reconhecendo um número primo

 Testando a divisibilidade do número por cada um dos números primos, com inicio em 2 ( números primos: 2, 3, 5, 7,...).

  Através da divisão do número por cada um dos números primos, temos:
   
   1) o número não é primo quando a divisão tem resto zero 

   2) o número é primo quando a divisão tem quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. 

1) Vamos testar se o número 15 é primo ou não:

• 13 : 2 = 6, resta 1;
• 13 : 3 = 4, restam 1;
• 13 : 5 = 2, restam 3.

 Podemos ter a certeza de que o número 15 é primo, pois nenhum dos divisores primos testados produziu resto 0 e o quociente da divisão pelo número primo 5 é igual a 3 que é menor que o divisor 5.

2) Vamos testar se o número 15 é primo ou não:

• 15 : 2 = 7, resta 1;
• 15 : 3 = 5, resta 0;
• 
  

 teste, a divisão foi exata, restando zero, concluímos que o número 15 não é um número primo.

por: Danilo silva

M.D.C (máximo divisor comum)

 M.D.C (máximo divisor comum)

Os divisores comuns de 8 e 12  são 1, 2, 4. Entre eles, 4 é o máximo divisor comum de 8 e 12 e indicamos por  m.d.c (8,12) = 4. Dois números naturais sempre têm divisores comuns. o maior divisor comum entre dois números ou mais é chamado de máximo divisor comum entre esses números.

   
 m.d.c entre os números 10 e 20

 D(10) = 1, 2, 5, 10

 D(20) = 1, 2, 5, 10

O maior divisor comum dos números 10 e 20 é 10.

 
 exemplos:

  m.d.c (4,6) = 2

  m.d.c (6,12) = 6 

  m.d.c (6,12,15) =3

cálculo do m.d.c

    Podemos também determinar o m.d.c de dois ou mais números através da fatoração. O m.d.c de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns entre eles cada um elevado ao menor expoente. Utilizando esse método:

     m.d.c (10;20)

 
    10 = 2 x 5

    20 = 2² x 5

   
    m.d.c (10,20) = 2 x 5 = 10

veja também

M.M.C (minimo múltiplo comum)

adição e subtração de números decimais

  Os números decimais são formados por uma parte inteira  e  outra parte decimal, sendo que os números que estão do lado esquerdo da  vírgula é a parte inteira e os que estão à direita compõem a parte decimal. Para resolver as operações (adição e subtração) com os números decimais é necessário utilizar algumas regras. saber realizar operações com esses números é de extrema importância para resolver problemas em nosso cotidiano. 
   ex:
 Em uma competição, Paula conseguiu a seguinte pontuação 23,12 e Maria 23,102.

  observe:

	Inteiro	décimo	Centésimo
Paula	23,	1	2
Maria	23,	1	0

 Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, observe:

   

    décimos  = > quando houver uma casa decimal;
   centésimos=> quando houver duas casas decimais;
   milésimos=>quando houver três casas decimais;
   décimos milésimos => quando houver quatro casas decimais;
   centésimos milésimos =>quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente.

 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 

 observação:

   

   Na adição ou subtração de números decimais é de extrema importância:

   SOMAR OU SUBTRAIR 

 *UNIDADES COM UNIDADES;

 *DÉCIMOS COM DÉCIMOS 

  
 Na adição ou subtração de números racionais é importante colocar vírgula em baixo de vírgula ( isso para dois ou mais números). Se o número de casas depois da vírgula for diferente, igualamos com zeros à direita.

   ADIÇÃO

  Na adição ( exemplo: 2,279 + 12,13  '' parcelas'' )  devemos saber que os números são chamados de parcelas e o resultado de soma total e que as parcelas tem que ser adicionadas da maior pela menor.

 exemplos:

1) 12,13 + 2,279 (parcelas )

Completamos com 0 para completar as casas decimais. A soma de 3 centésimo com 7 centésimo é igual a 10 ( assim fica 0 e vai 1 ).

pratica:

 0 + 9 = 9

 3 + 7 = 10 ( '' vai um '')

 1 + 2 = 3 ( " recebe um ")

2 + 2 = 4

1 + 0 = 1

2 )     2 + 0, 2 ( parcelas)                                                                                                                                                                                                               

pratica:

0 + 2 = 2

2 + 0 = 2

Completamos com 0 para completar as casas decimais.

3 ) 3 + 2, 741 ( parcelas)

pratica:

0 + 1 = 1

0 + 4 = 4

0 + 7 = 7

3 + 2 = 5 

Completamos com 3 zeros para completar as casas decimais. Note que a parcela superior é composta só de zeros depois da vírgula.  

SUBTRAÇÃO 

 Na subtração o diminuendo deve ser sempre maior que o subtraendo e o resultado recebe o nome de resto ou diferença.

    exemplos:

1) 8, 30 - 3, 0 

Primeiro completamos o subtraendo com 0 para completar as casas decimais. 

pratica:

0 - 0 = 0

3 - 0 = 3 

8 - 3 = 5

2) 0, 20 - 0,15 

  Para subtrair 5 décimos, transformamos 1 décimo em 10 centésimos, ficamos com 10 no minuendo (''vai 10 em sima do 0 e tiramos 1 do 2 ")assim  temos:

 10 - 5 = 5 

 1 - 1 = 0

números racionais decimais; multiplicação

Os números com vírgula assustam  um pouco. Esses números são formados por uma parte inteira  e  outra parte decimal, sendo que os números que estão do lado esquerdo da  vírgula é a parte inteira e os que estão à direita compõem a parte decimal. saber realizar operações com esses números é de extrema importância para resolver problemas em nosso cotidiano.

     exemplo:

 Em uma competição, Paula conseguiu a seguinte pontuação 23,12 e Maria 23,102.

  observe:

	Inteiro	décimo	Centésimo
Paula	23,	1	2
Maria	23,	1	0

 Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, observe:

   

    décimos  = > quando houver uma casa decimal;
   centésimos=> quando houver duas casas decimais;
   milésimos=>quando houver três casas decimais;
   décimos milésimos => quando houver quatro casas decimais;
   centésimos milésimos =>quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente.

há duas maneiras de multiplicar números decimais:

   primeira maneira - multiplicação de  número decimal por número natural.
   segunda maneira - multiplicação de número decimal por número decimal.

      multiplicação; número decimal por número natural

exemplo 1:

 Para multiplicar os números decimais vamos fazer como se fossem números naturais; como fazemos normalmente. Depois veremos quantas casas decimais existem depois da vírgula, apos fazer isso adicionaremos esta quantidade de casas no resultado que obteremos da multiplicação. ( quando multiplicamos o 5 centésimos por 2, obtemos 10 centésimos,  deixamos o 0 e '' jogamos'' o 1 para sima; agora multiplicamos o 1 decimo por 2 e somamos com 1 obtendo  3 (''retire o zero e deixa  o 3") na parte inteira iremos multiplicar o 5 por 2 e abaixaremos o 10.  Somando as casas decimais encontraremos 2, lembre-se  que para adicionar as casas decimais contamos de trás para frente e assim colocamos a vírgula. 


       10,3 (duas casas decimais) lembrando que tiramos o zero 10,30

exemplo 2:

Para multiplicar os números decimais vamos fazer como se fossem números naturais; como fazemos normalmente.
Essa questão e análoga a anterior, somando as casas decimais encontraremos 1, lembre-se  que para adicionar as casas decimais contamos de trás para frente e assim colocamos a vírgula. 
quando em uma multiplicação o segundo fator for  um número natural com 2 ou mais algarismos devemos multiplicar o número da direita e depois  multiplicar o da esquerda.
   
63,6 ( uma casa decimal) 

  Para colocarmos a vírgula na casa decimal correta do produto  devemos olhar os números decimais dos fatores e contar quantas casas decimais ele tem, no caso do 5,3 tem 1, então andaremos da direita para a esquerda 1 casa decimal e colocaremos a virgula onde paramos


multiplicação; número decimal por número decimal
exemplo 1:

Para multiplicar os números decimais vamos fazer como se fossem números naturais; como fazemos normalmente. somando as casas decimais encontraremos 3, lembre-se  que para adicionar as casas decimais contamos de trás para frente e assim colocamos a vírgula ( aqui contamos as casas decimais no primeiro e segundo fator). 
  
  44, 688 ( três casas decimais)

Somando as casas decimais dos dois fatores, teremos 3 casas decimais, assim andaremos 3 casas decimais da direita para a esquerda onde colocaremos a vírgula.
exemplo 2:

 Somando as casas decimais encontraremos 1, lembre-se  que para adicionar as casas decimais contamos de trás para frente e assim colocamos a vírgula ( aqui contamos as casas decimais no segundo fator).
 
630,0 (uma casa decimal)

 Somando as casas decimais de um só fator, teremos 1 casas decimal, assim andaremos 1 casa decimal da direita para a esquerda onde colocaremos a vírgula.

resolva os exercício:

1) resolva as expressões abaixo :

a) 0,12 x 0,2 =

b) 0,23 x 04 =

c) 67 x 0,2 =

d) 80 x 1,2 =

e) 0, 890 x 0, 0012 =

funções trigonométricas inversas

funções inversas

 dadas as funções trigonométricas inversas:

  arcoseno   arcocosseno   arcotangente

 
  atenção:

     temos, y = cosx      arccos(y) = x  ( lê-se arco cujo cosseno vale y)
                                    (essa é a função inversa)

      Isso é análogo para todas as outras funções inversas.
   

        exemplo: cos45°=  $ \surd $2/2
     
 ''pergunto: qual o arco cujo cos é $ \surd $2/2 ? ( arccos($ \surd $2/2))

    exercícios resolvidos:

       a) sen30° = 1/2 ( qual é o arco cujo seno vale 1/2 )  arcsen ( 1/2 ) = 30°
     
       b) sen60° = $ \surd $3/2  arcsen( $ \surd $3/2) = 60°
     
      c) cos30° = $ \surd $3/2  arccos($ \surd  $3/2) = 30°
   
      d) tg45° = 1  arctg ( 1 ) = 45°