M.D.C (máximo divisor comum)

 M.D.C (máximo divisor comum)

Os divisores comuns de 8 e 12  são 1, 2, 4. Entre eles, 4 é o máximo divisor comum de 8 e 12 e indicamos por  m.d.c (8,12) = 4. Dois números naturais sempre têm divisores comuns. o maior divisor comum entre dois números ou mais é chamado de máximo divisor comum entre esses números.

   
 m.d.c entre os números 10 e 20

 D(10) = 1, 2, 5, 10

 D(20) = 1, 2, 5, 10

O maior divisor comum dos números 10 e 20 é 10.

 
 exemplos:

  m.d.c (4,6) = 2

  m.d.c (6,12) = 6 

  m.d.c (6,12,15) =3

cálculo do m.d.c

    Podemos também determinar o m.d.c de dois ou mais números através da fatoração. O m.d.c de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns entre eles cada um elevado ao menor expoente. Utilizando esse método:

     m.d.c (10;20)

 
    10 = 2 x 5

    20 = 2² x 5

   
    m.d.c (10,20) = 2 x 5 = 10

veja também

M.M.C (minimo múltiplo comum)

adição e subtração de números decimais

  Os números decimais são formados por uma parte inteira  e  outra parte decimal, sendo que os números que estão do lado esquerdo da  vírgula é a parte inteira e os que estão à direita compõem a parte decimal. Para resolver as operações (adição e subtração) com os números decimais é necessário utilizar algumas regras. saber realizar operações com esses números é de extrema importância para resolver problemas em nosso cotidiano. 
   ex:
 Em uma competição, Paula conseguiu a seguinte pontuação 23,12 e Maria 23,102.

  observe:

	Inteiro	décimo	Centésimo
Paula	23,	1	2
Maria	23,	1	0

 Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, observe:

   

    décimos  = > quando houver uma casa decimal;
   centésimos=> quando houver duas casas decimais;
   milésimos=>quando houver três casas decimais;
   décimos milésimos => quando houver quatro casas decimais;
   centésimos milésimos =>quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente.

 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 

 observação:

   

   Na adição ou subtração de números decimais é de extrema importância:

   SOMAR OU SUBTRAIR 

 *UNIDADES COM UNIDADES;

 *DÉCIMOS COM DÉCIMOS 

  
 Na adição ou subtração de números racionais é importante colocar vírgula em baixo de vírgula ( isso para dois ou mais números). Se o número de casas depois da vírgula for diferente, igualamos com zeros à direita.

   ADIÇÃO

  Na adição ( exemplo: 2,279 + 12,13  '' parcelas'' )  devemos saber que os números são chamados de parcelas e o resultado de soma total e que as parcelas tem que ser adicionadas da maior pela menor.

 exemplos:

1) 12,13 + 2,279 (parcelas )

Completamos com 0 para completar as casas decimais. A soma de 3 centésimo com 7 centésimo é igual a 10 ( assim fica 0 e vai 1 ).

pratica:

 0 + 9 = 9

 3 + 7 = 10 ( '' vai um '')

 1 + 2 = 3 ( " recebe um ")

2 + 2 = 4

1 + 0 = 1

2 )     2 + 0, 2 ( parcelas)                                                                                                                                                                                                               

pratica:

0 + 2 = 2

2 + 0 = 2

Completamos com 0 para completar as casas decimais.

3 ) 3 + 2, 741 ( parcelas)

pratica:

0 + 1 = 1

0 + 4 = 4

0 + 7 = 7

3 + 2 = 5 

Completamos com 3 zeros para completar as casas decimais. Note que a parcela superior é composta só de zeros depois da vírgula.  

SUBTRAÇÃO 

 Na subtração o diminuendo deve ser sempre maior que o subtraendo e o resultado recebe o nome de resto ou diferença.

    exemplos:

1) 8, 30 - 3, 0 

Primeiro completamos o subtraendo com 0 para completar as casas decimais. 

pratica:

0 - 0 = 0

3 - 0 = 3 

8 - 3 = 5

2) 0, 20 - 0,15 

  Para subtrair 5 décimos, transformamos 1 décimo em 10 centésimos, ficamos com 10 no minuendo (''vai 10 em sima do 0 e tiramos 1 do 2 ")assim  temos:

 10 - 5 = 5 

 1 - 1 = 0

números racionais decimais; multiplicação

Os números com vírgula assustam  um pouco. Esses números são formados por uma parte inteira  e  outra parte decimal, sendo que os números que estão do lado esquerdo da  vírgula é a parte inteira e os que estão à direita compõem a parte decimal. saber realizar operações com esses números é de extrema importância para resolver problemas em nosso cotidiano.

     exemplo:

 Em uma competição, Paula conseguiu a seguinte pontuação 23,12 e Maria 23,102.

  observe:

	Inteiro	décimo	Centésimo
Paula	23,	1	2
Maria	23,	1	0

 Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, observe:

   

    décimos  = > quando houver uma casa decimal;
   centésimos=> quando houver duas casas decimais;
   milésimos=>quando houver três casas decimais;
   décimos milésimos => quando houver quatro casas decimais;
   centésimos milésimos =>quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente.

há duas maneiras de multiplicar números decimais:

   primeira maneira - multiplicação de  número decimal por número natural.
   segunda maneira - multiplicação de número decimal por número decimal.

      multiplicação; número decimal por número natural

exemplo 1:

 Para multiplicar os números decimais vamos fazer como se fossem números naturais; como fazemos normalmente. Depois veremos quantas casas decimais existem depois da vírgula, apos fazer isso adicionaremos esta quantidade de casas no resultado que obteremos da multiplicação. ( quando multiplicamos o 5 centésimos por 2, obtemos 10 centésimos,  deixamos o 0 e '' jogamos'' o 1 para sima; agora multiplicamos o 1 decimo por 2 e somamos com 1 obtendo  3 (''retire o zero e deixa  o 3") na parte inteira iremos multiplicar o 5 por 2 e abaixaremos o 10.  Somando as casas decimais encontraremos 2, lembre-se  que para adicionar as casas decimais contamos de trás para frente e assim colocamos a vírgula. 


       10,3 (duas casas decimais) lembrando que tiramos o zero 10,30

exemplo 2:

Para multiplicar os números decimais vamos fazer como se fossem números naturais; como fazemos normalmente.
Essa questão e análoga a anterior, somando as casas decimais encontraremos 1, lembre-se  que para adicionar as casas decimais contamos de trás para frente e assim colocamos a vírgula. 
quando em uma multiplicação o segundo fator for  um número natural com 2 ou mais algarismos devemos multiplicar o número da direita e depois  multiplicar o da esquerda.
   
63,6 ( uma casa decimal) 

  Para colocarmos a vírgula na casa decimal correta do produto  devemos olhar os números decimais dos fatores e contar quantas casas decimais ele tem, no caso do 5,3 tem 1, então andaremos da direita para a esquerda 1 casa decimal e colocaremos a virgula onde paramos


multiplicação; número decimal por número decimal
exemplo 1:

Para multiplicar os números decimais vamos fazer como se fossem números naturais; como fazemos normalmente. somando as casas decimais encontraremos 3, lembre-se  que para adicionar as casas decimais contamos de trás para frente e assim colocamos a vírgula ( aqui contamos as casas decimais no primeiro e segundo fator). 
  
  44, 688 ( três casas decimais)

Somando as casas decimais dos dois fatores, teremos 3 casas decimais, assim andaremos 3 casas decimais da direita para a esquerda onde colocaremos a vírgula.
exemplo 2:

 Somando as casas decimais encontraremos 1, lembre-se  que para adicionar as casas decimais contamos de trás para frente e assim colocamos a vírgula ( aqui contamos as casas decimais no segundo fator).
 
630,0 (uma casa decimal)

 Somando as casas decimais de um só fator, teremos 1 casas decimal, assim andaremos 1 casa decimal da direita para a esquerda onde colocaremos a vírgula.

resolva os exercício:

1) resolva as expressões abaixo :

a) 0,12 x 0,2 =

b) 0,23 x 04 =

c) 67 x 0,2 =

d) 80 x 1,2 =

e) 0, 890 x 0, 0012 =

funções trigonométricas inversas

funções inversas

 dadas as funções trigonométricas inversas:

  arcoseno   arcocosseno   arcotangente

 
  atenção:

     temos, y = cosx      arccos(y) = x  ( lê-se arco cujo cosseno vale y)
                                    (essa é a função inversa)

      Isso é análogo para todas as outras funções inversas.
   

        exemplo: cos45°=  $ \surd $2/2
     
 ''pergunto: qual o arco cujo cos é $ \surd $2/2 ? ( arccos($ \surd $2/2))

    exercícios resolvidos:

       a) sen30° = 1/2 ( qual é o arco cujo seno vale 1/2 )  arcsen ( 1/2 ) = 30°
     
       b) sen60° = $ \surd $3/2  arcsen( $ \surd $3/2) = 60°
     
      c) cos30° = $ \surd $3/2  arccos($ \surd  $3/2) = 30°
   
      d) tg45° = 1  arctg ( 1 ) = 45°

divisão com vírgula

  Quando aprendemos operações da divisão, aprendemos que existe''dois tipos de divisão''; a divisão exata (não haverá resto) e a divisão  não exata (quando exite resto).
  Se dividirmos 8 por  2 teremos uma divisão exata,  pois não haverá resto. por outro lado, se dividirmos 7 por 2 teremos uma divisão  não exata, pois haverá resto.

  

     divisão

representações:

  

exitem algumas maneiras de representar uma divisão

 ( $ \div $ )  (barra com dois pontos é utilizada no ensino fundamental; não usamos essa notação no ensino médio ou no ensino superior )

( / )  ( essa barra é utilizada em notações lineares)

_   

     (barra, usamos em frações; as divisões podem ser expressas na forma de frações )

(:) ( dois pontos, pode representar divisões e proporções )

   nomenclatura

cálculo e nomenclatura:

observe:
1)

1 "quando baixamos o número, devemos dividir"

  "quando colocamos o número zero, dividimos também" 

2 ''quantas casas existem no divisor?

  -uma unica casa!

-pegamos então uma unica casa no dividendo(da esquerda para a direita)!

 se o número fosse menor que o divisor eu pegaria mais uma casa...

para provar que estamos certos, usamos a seguinte regra: 

   

 - qual o número multiplicado por 2 da ou chega perto de dois?

  1 ! pois, 1 x 2 = 2''.

... 

(o dividendo = (divisor x quociente) + resto)

22 = (2 x 11) + 0 

A divisão é exata, quando:

primeiro exemplo
2)

A divisão é exata quando o resto é igual a 0.

3) Essa é uma divisão  não  exata, pois existe um resto. Quando tivermos um resto devemos acrescentar um vírgula no quociente e um zero no fim do resto.

segundo exemplo

A divisão não é exata quando:

 4)  3,6 por 2; o número 3,6 é decimal com um algarismo depois da virgula; o divisor 2 deve ser escrito no mesmo formato que o dividendo(ou seja 2,0). Agora que ambos são escritos no mesmo formato, podemos desconsiderar as virgulas e realizar a divisão de 36 por 20.

primeiro exemplo

   

1) o dividendo 3,6 é decimal com um algarismo depois da virgula, por outro lado, o divisor 2 não é decimal, então devemos escrever o divisor no mesmo formato do dividendo (ou seja 2,0).

2) devemos tirar as virgulas e realizar a divisão 36 por 20.




segundo exemplo

5)  Para realizar essa divisão vamos escrever o dividendo no formato do divisor, ou seja 20 ( em 20,0), assim, quando o dividendo e o divisor tiverem um número apos a vírgula, retiramos as vírgulas e realizamos a divisão de 200 por 25.

resolva os exercícios:

 1) resolva os exercícios e classifique em divisão exata ou não exata.

   a) 200/8 =
   b) 20/2 =
   c) 8/2,3 =
   d)2,10/ 2 =

  respostas:
   a) 25 b) 10 c)3, 478...( aproximado) d) 1,05