números racionais decimais; multiplicação

Os números com vírgula assustam  um pouco. Esses números são formados por uma parte inteira  e  outra parte decimal, sendo que os números que estão do lado esquerdo da  vírgula é a parte inteira e os que estão à direita compõem a parte decimal. saber realizar operações com esses números é de extrema importância para resolver problemas em nosso cotidiano.

     exemplo:

 Em uma competição, Paula conseguiu a seguinte pontuação 23,12 e Maria 23,102.

  observe:

	Inteiro	décimo	Centésimo
Paula	23,	1	2
Maria	23,	1	0

 Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, observe:

   

    décimos  = > quando houver uma casa decimal;
   centésimos=> quando houver duas casas decimais;
   milésimos=>quando houver três casas decimais;
   décimos milésimos => quando houver quatro casas decimais;
   centésimos milésimos =>quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente.

há duas maneiras de multiplicar números decimais:

   primeira maneira - multiplicação de  número decimal por número natural.
   segunda maneira - multiplicação de número decimal por número decimal.

      multiplicação; número decimal por número natural

exemplo 1:

 Para multiplicar os números decimais vamos fazer como se fossem números naturais; como fazemos normalmente. Depois veremos quantas casas decimais existem depois da vírgula, apos fazer isso adicionaremos esta quantidade de casas no resultado que obteremos da multiplicação. ( quando multiplicamos o 5 centésimos por 2, obtemos 10 centésimos,  deixamos o 0 e '' jogamos'' o 1 para sima; agora multiplicamos o 1 decimo por 2 e somamos com 1 obtendo  3 (''retire o zero e deixa  o 3") na parte inteira iremos multiplicar o 5 por 2 e abaixaremos o 10.  Somando as casas decimais encontraremos 2, lembre-se  que para adicionar as casas decimais contamos de trás para frente e assim colocamos a vírgula. 


       10,3 (duas casas decimais) lembrando que tiramos o zero 10,30

exemplo 2:

Para multiplicar os números decimais vamos fazer como se fossem números naturais; como fazemos normalmente.
Essa questão e análoga a anterior, somando as casas decimais encontraremos 1, lembre-se  que para adicionar as casas decimais contamos de trás para frente e assim colocamos a vírgula. 
quando em uma multiplicação o segundo fator for  um número natural com 2 ou mais algarismos devemos multiplicar o número da direita e depois  multiplicar o da esquerda.
   
63,6 ( uma casa decimal) 

  Para colocarmos a vírgula na casa decimal correta do produto  devemos olhar os números decimais dos fatores e contar quantas casas decimais ele tem, no caso do 5,3 tem 1, então andaremos da direita para a esquerda 1 casa decimal e colocaremos a virgula onde paramos


multiplicação; número decimal por número decimal
exemplo 1:

Para multiplicar os números decimais vamos fazer como se fossem números naturais; como fazemos normalmente. somando as casas decimais encontraremos 3, lembre-se  que para adicionar as casas decimais contamos de trás para frente e assim colocamos a vírgula ( aqui contamos as casas decimais no primeiro e segundo fator). 
  
  44, 688 ( três casas decimais)

Somando as casas decimais dos dois fatores, teremos 3 casas decimais, assim andaremos 3 casas decimais da direita para a esquerda onde colocaremos a vírgula.
exemplo 2:

 Somando as casas decimais encontraremos 1, lembre-se  que para adicionar as casas decimais contamos de trás para frente e assim colocamos a vírgula ( aqui contamos as casas decimais no segundo fator).
 
630,0 (uma casa decimal)

 Somando as casas decimais de um só fator, teremos 1 casas decimal, assim andaremos 1 casa decimal da direita para a esquerda onde colocaremos a vírgula.

resolva os exercício:

1) resolva as expressões abaixo :

a) 0,12 x 0,2 =

b) 0,23 x 04 =

c) 67 x 0,2 =

d) 80 x 1,2 =

e) 0, 890 x 0, 0012 =

funções trigonométricas inversas

funções inversas

 dadas as funções trigonométricas inversas:

  arcoseno   arcocosseno   arcotangente

 
  atenção:

     temos, y = cosx      arccos(y) = x  ( lê-se arco cujo cosseno vale y)
                                    (essa é a função inversa)

      Isso é análogo para todas as outras funções inversas.
   

        exemplo: cos45°=  $ \surd $2/2
     
 ''pergunto: qual o arco cujo cos é $ \surd $2/2 ? ( arccos($ \surd $2/2))

    exercícios resolvidos:

       a) sen30° = 1/2 ( qual é o arco cujo seno vale 1/2 )  arcsen ( 1/2 ) = 30°
     
       b) sen60° = $ \surd $3/2  arcsen( $ \surd $3/2) = 60°
     
      c) cos30° = $ \surd $3/2  arccos($ \surd  $3/2) = 30°
   
      d) tg45° = 1  arctg ( 1 ) = 45°

divisão com vírgula

  Quando aprendemos operações da divisão, aprendemos que existe''dois tipos de divisão''; a divisão exata (não haverá resto) e a divisão  não exata (quando exite resto).
  Se dividirmos 8 por  2 teremos uma divisão exata,  pois não haverá resto. por outro lado, se dividirmos 7 por 2 teremos uma divisão  não exata, pois haverá resto.

  

     divisão

representações:

  

exitem algumas maneiras de representar uma divisão

 ( $ \div $ )  (barra com dois pontos é utilizada no ensino fundamental; não usamos essa notação no ensino médio ou no ensino superior )

( / )  ( essa barra é utilizada em notações lineares)

_   

     (barra, usamos em frações; as divisões podem ser expressas na forma de frações )

(:) ( dois pontos, pode representar divisões e proporções )

   nomenclatura

cálculo e nomenclatura:

observe:
1)

1 "quando baixamos o número, devemos dividir"

  "quando colocamos o número zero, dividimos também" 

2 ''quantas casas existem no divisor?

  -uma unica casa!

-pegamos então uma unica casa no dividendo(da esquerda para a direita)!

 se o número fosse menor que o divisor eu pegaria mais uma casa...

para provar que estamos certos, usamos a seguinte regra: 

   

 - qual o número multiplicado por 2 da ou chega perto de dois?

  1 ! pois, 1 x 2 = 2''.

... 

(o dividendo = (divisor x quociente) + resto)

22 = (2 x 11) + 0 

A divisão é exata, quando:

primeiro exemplo
2)

A divisão é exata quando o resto é igual a 0.

3) Essa é uma divisão  não  exata, pois existe um resto. Quando tivermos um resto devemos acrescentar um vírgula no quociente e um zero no fim do resto.

segundo exemplo

A divisão não é exata quando:

 4)  3,6 por 2; o número 3,6 é decimal com um algarismo depois da virgula; o divisor 2 deve ser escrito no mesmo formato que o dividendo(ou seja 2,0). Agora que ambos são escritos no mesmo formato, podemos desconsiderar as virgulas e realizar a divisão de 36 por 20.

primeiro exemplo

   

1) o dividendo 3,6 é decimal com um algarismo depois da virgula, por outro lado, o divisor 2 não é decimal, então devemos escrever o divisor no mesmo formato do dividendo (ou seja 2,0).

2) devemos tirar as virgulas e realizar a divisão 36 por 20.




segundo exemplo

5)  Para realizar essa divisão vamos escrever o dividendo no formato do divisor, ou seja 20 ( em 20,0), assim, quando o dividendo e o divisor tiverem um número apos a vírgula, retiramos as vírgulas e realizamos a divisão de 200 por 25.

resolva os exercícios:

 1) resolva os exercícios e classifique em divisão exata ou não exata.

   a) 200/8 =
   b) 20/2 =
   c) 8/2,3 =
   d)2,10/ 2 =

  respostas:
   a) 25 b) 10 c)3, 478...( aproximado) d) 1,05

logaritmo natural

sistema de logaritmo natural

   
     observação:

 lnx é logaritmo natural de x , que é o correto. Já  aqueles que insistem em nomear estes como logaritmo neperiano; O  logaritmo neperiano, o qual pode ser atribuído a John Neper é o logaritmo cuja base é o número a.

 em que:

=

=  lim_n->∞(1-1/n)ⁿ= 1/e

           

logaritmo natural:

São  os logaritmos na base e (e é um número irracional, cujo valor é  2,71828... que recebe o nome de número de Euler).
. 

      

 ( e pode ser definido usando a notação de limites )    

notação para os logaritmos naturais:

        

            Ln(x) = log_ex    (O logaritmo de x, cuja base é o número "e" é o logaritmo natural de x)

    Nem sempre os dados básicos são suficientes para resolver exercícios envolvendo os logaritmos naturais, por isso irei colocar regras e notações abaixo. 

     
     resultado de algumas expressões:   
         
          Ln e = 1
          Ln 1 = 0
          Ln (eⁿ) = n


 propriedades dos logaritmos naturais 

          primeira propriedade: produto                          
                                       
                      ln (x · y) = ln x + ln y
  
                        
      segunda propriedade: quociente
                     
                     ln (x/y) = ln x - ln y

      terceira propriedade: potência
                    
                     ln (xⁿ) = n . ln x

transformando a base e para a base decimal
               
    considerando o número real positivo x, tal que:  

log_ex = logx/loge
log_ex = logx/0,43
log_ex = 1/0,43 x logx
log_ex = 2,3 x logx

     Essas relações são de extrema importância  para a resolução de exercícios.

logaritmo

Conta ai

   logaritmos

Você já pensou ter que fazer cálculos do tipo 3,25694 * 1,78090 ou 3,25694 : 1,78090 no século XVI. Quanto tempo era necessário para fazer esses cálculos? Provavelmente era uma tarefa muito trabalhosa. Para tornar cálculos desse tipo menos trabalhosos, o escocês John Napier criou os logaritmos. No entanto, hoje em dia, com as calculadoras eletrônicas, multiplicar, dividir, calcular potências e extrair raízes não é difícil. Mais há cerca de 400 anos atras, multiplicar, dividir, calcular potências e extrair raízes eram tarefas difíceis, que eram feitas a partir de senos.

    

 Para compreender o que é logaritmo:

Através dos logaritmos, o cálculo das equações exponenciais foi extremamente facilitados, quando as bases não podiam ser facilmente igualadas.

    

     Exemplo:  

temos:

       10^x = 2

  “ Como achar o valor de x ?

    Tento igualar as bases! mais 2 elevado a quanto é igual a 10?

    -Não conseguimos fazer isso de forma direta, então o que nos resta é fazer por tentativas”.

   10^0,5  =  3, 1622 (aproximadamente 3,162, pois 3, 16... vezes ele mesmo é 10)

     “Não da”

   10^0,3 = 1, 9952 ( 0,3 é uma potência que se aproxima do 2; dessa forma iremos descobrir um expoente extremamente próximo de 2)

   10^0,3010  = 2

  foi difícil achar esse resultado? na minha opinião sim!

Por esse motivo e outros, surgiu os logaritmos (e algumas tabelas) para facilitar o cálculo de equações exponenciais com maior complexidade.

      

 Logaritmo é um número, perceba que esse número é um expoente.

   

 O logaritmo de base b, maior que zero e diferente de 1, é uma função de domínio e imagem, bijetora e contínua que retorna o expoente na equação bⁿ = x. Usualmente é escrito como Log_b x = n.

    definição:

 x e b são números reais positivos com b diferente de 1. Assim, chamamos de logaritmo de x na base b o expoente n tal quebⁿ = x.

      temos: Log_b x = n=> bⁿ = x

nomenclatura

Tabela 1

Forma logarítmica	Forma exponencial
Loga b = c   c – logaritmo a – base do logaritmo b – logaritmando	ac = b b – potência a – base da potência c- expoente

  Exemplo:

1)      Log₂ 4 = x  => 2^x = 4  => x =2

para achar o  valor de x usamos as propriedades das equações exponenciais.

      Igualando as bases temos:

   2^x = 4  => 2^x =  2²

2)      Log₂ 16 = x  => 2^x = 16 => x = 4

Para achar o valor de x usamos as propriedades das equações exponenciais.

   Igualando as bases temos:

    

2^x = 16 => 2^x =  2⁴

3)      Log₂ 1 = x  =>2^x = 1 => x = 0

 Para achar o valor de x usamos as propriedades das equações exponenciais.

   Igualando as bases temos:

    

2^x = 1 => 2^x =  2⁰

                               4) Log_1\2 32 = x  => 1\2^x = 32 => x = -5

                                       

 Para achar o valor de x usamos as propriedades das equações exponenciais.

   Igualando as bases temos:

    

                                              (1\2)^x = 32=> (1\2)^x = (1\2)^-5  => x = -5

Propriedades operatórias dos logaritmos:

Primeira propriedade: Produto é igual a soma dos logaritmos.

       

    loga(bc) = loga b+logac

Segunda propriedade: quociente é igual a diferença dos logaritmos. 

   loga (b\c) = logab – logac

Terceira propriedade: potência é igual ao expoente vezes o logaritmo

     Logab = n.logab

quarta propriedade: raiz u-ésima de um número 

Loga n√m = 1\n Logam

  

 O sistema de logaritmos decimais (ou logaritmo de Briggs) e o sistema de  logaritmos naturais destacam-se pelo seu importante papel no campo das Ciências.

logaritmos decimais

O logaritmos de base 10 também são chamados de logaritmos de briggs, por ter sido inglês henry briggs (1561-1631) foi o primeiro a usar o número 10 para a construção de tábuas de logaritmos. 

     

  notação para os logaritmos decimais:

        log10b = logb

 log b = x, não é necessidade colocar a base 10. 

sistema de logaritmos naturais 

 são  os logaritmos na base e (e é um número irracional, cujo valor é  2,71828... que recebe o nome de número de Euler). 

      

       notação para os logaritmos naturais:

        

           logeb = lnb

uma relação importante

cologaritmo de um número 

 O cologaritmo de um número numa base dada é o oposto do logaritmo nessa mesma base.

cologax = - logax 

Referência:

MIORIM, M. A.; MIGUEL, A. Os logaritmos na cultura escolar brasileira. Natal: SBHMat, 2002.