Polígonos regulares/
triângulo equilátero inscrito e circunscrito
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quinta-feira, 17 de março de 2016
Polígonos regulares/ quadrado inscrito e circunscrito
Polígonos regulares/
quadrado inscrito e circunscrito
terça-feira, 1 de março de 2016
Como determinar o raio e o centro da circunferência quando é conhecia a equação da circunferência?
Como determinar o raio e o centro da
circunferência quando é conhecia a equação da circunferência?
Por exemplo: Determine o centro e o raio da
circunferência de equação x^2 +y^2 – 4x – 4y + 4 = 0.
x^2 +y^2 – 4x – 4y + 4 = 0 passa a ser x^2 – 4x +y^2 – 4y = -4
obs: os elementos que tem x ficam com os que tem
x (x^2 – 4x ) e os elementos que tem y ficam com os elementos que tem y(y^2 –
4y ) e os elementos constantes (4 obs:
lembrando que quando um elemento muda de lado em uma equação ele passa para o
outro lado mudando de sinal) passam para o segundo membro da equação.
x^2 – 4x +y^2 – 4y = -4
escreva essa equação na seguinte configuração
x^2 – 4x +
+y^2 – 4y + = -4+
+
obs: vamos usar o método de completar quadrados.
Para x^2
– 4x + multiplique -4 ( o
coeficiente de x ) por 1/2
-4.1/2 = -2 e depois eleve o resultado dessa
multiplicação ao quadrado
-2^2 = 4
Para y^2 – 4y multiplique -4 ( o coeficiente de y
) por 1/2
-4.1/2 = -2 e depois eleve o resultado dessa multiplicação
ao quadrado -2^2 = 4
Agora reescreva a equação x^2 – 4x + +y^2 – 4y + = -4+ +
Somando os resultados 4 aos elementos de x e 4
aos elementos de y e somando 4 + 4 na parte constante.
Fica assim:
x^2 – 4x + 4 +y^2 – 4y + 4
= -4+ 4 + 4
= x^2 – 4x
+ 4 +y^2 – 4y + 4
= 4 temos os seguintes quadrados
perfeitos
(x – 2)^2 + (y – 2)^2 = 2^2
Assim a circunferência terá raio centro C ( 2,2)
e raio 2.
Faça o processo acima para as seguintes equações:
1)
X^2 + y^2 -6x -4y + 12= 0
2)
X^2 + y^2 + 10 =
3)
X^2+y^2 -2x + 4y – 4 =0
quarta-feira, 11 de novembro de 2015
quinta-feira, 8 de outubro de 2015
Ângulos notáveis
Ângulos notáveis
Consideramos os ângulos 30°, 45° e 60° como ângulos notáveis por
aparecerem frequentemente em cálculos.
Os ângulos notáveis são obtidos da seguinte forma:
Dado um triângulo equilátero ABC, cujos lados medem l e
alturas medem h.
Através do uso do teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ADC,
obtemos as seguintes relações:
Dado um quadrado ABCD, cujos lados medem l e a diagonal
mede d.
Através do uso do teorema de Pitágoras no triângulo ABC, obtemos as seguintes relações:
Através das relações acima, pode-se construir a seguinte tabela (tabela de ângulos notáveis):
Arquivo em: matemática
terça-feira, 6 de outubro de 2015
retas concorrentes
Retas concorrentes
(resposta rápida)
Em geometria euclidiana, são chamadas de
concorrentes as retas de um plano que têm um único ponto comum, consequentemente
suas direções são diferentes, não
havendo paralelismo entre elas.
Fonte: wikipedia
Há uma caso particular, as retas perpendiculares,
que se interceptam a 90 graus, ou seja, um ângulo reto.
Arquivo em: respostas rápidas
sexta-feira, 4 de setembro de 2015
Mediana, Bissetriz e altura de um triângulo
Mediana, Bissetriz e altura de um triângulo
Todos os triângulo possuem lados, vértices, ângulos externos e ângulos
internos. Nos triângulos , também
determinamos outros elementos mais notáveis, como mediana, bissetriz e altura.
Mediana, Bissetriz e Altura
Mediana
A Mediana caracteriza-se pelo segmento que tem uma de suas extremidades
no vértice do triângulo e a outra no ponto médio do lado oposto, desse
triângulo. Tal segmento divide o lado oposto ao vértice de sua origem em duas
partes iguais (congruentes).
Veja:
Obs:
1 - CD é segmento de reta com extremidades no
vértice C e no ponto médio D, , podemos dizer que o segmento CD é a mediana do
triângulo acima.
2 - A, B e C são os vértices do triângulo.
Bissetriz
A Bissetriz é um segmento de reta com origem em um dos vértices do
triângulo com a outra extremidade no lado oposto ao vértice. Ela divide ao meio
o ângulo correspondente ao vértice.
Veja:
Obs:
AD é um segmento de reta que dividiu o ângulo  em duas partes iguais.
Altura
A altura de um triângulo é dada através
de um segmento de reta com
origem em um dos vértices e perpendicular, ou seja, forma um ângulo de
90º ao lado oposto.
A altura dos triângulos retângulo, acutângulo, obtusângulo
Altura do triângulo retângulo
Obs:
O segmento AB representa a altura triângulo.
Altura do triângulo acutângulo
Obs:
O segmento AH tem origem no vértice A e é perpendicular ao lado BC; AH é
a altura do triângulo.
Altura do triângulo obtusângulo
Obs:
A base AB do triângulo foi prolongada formando o segmento BD.
O segmento CD é a altura do triângulo.
sábado, 22 de agosto de 2015
Lei senos e dos cossenos
Lei dos Cossenos
A Lei dos Cossenos é uma das leis da Trigonometria. A trigonometria é a área da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados de um triângulo, formado por dois catetos, ou seja, dois lados, um oposto e o outro adjacente e uma hipotenusa, que é o lado oposto ao ângulo reto.
A Lei dos Cossenos mostra que: em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles.
Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:
Observe que: O quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles ( para qualquer triângulo).
Exemplos:
1) Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x.
a² = b² + c² – 2 * b * c * cosalfa
6² = x² + 5² – 2 * 5 * x * cos60º
36 = x² + 25 – 10* x * 0,5
36 = x² + 25 – 5x
x² –5x +25 -36 = 0
x² –5x - 11 = 0
Observe que x² –5x - 11 = 0 é uma equação do segundo grau, então vamos usar o método resolutivo da equação do segundo grau.
x’ = 13,3 e x” = – 3,3, como se tratar de medidas descartamos x” = –3,3 e utilizamos x’ = 13,3. Dessa forma o valor de x no triângulo é 13,3 cm
obs: utilizei o método de de completar quadrados para encontrar as raízes da equação do segundo grau.
2) um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 5cm, AC = 6cm e BC = 4cm. Determine a medida do ângulo A.
Usando a lei dos cossenos
Lembrando que:
a = 6, b =5 e c = 4
6² = 5² + 4² – 2 * 5 * 4 * cos A
36 = 25 + 16 – 40 * cos A
36 – 25 – 16 = –40 * cos A
–5 = –40 * cos A
-5/-40 = cos A (“ - com – na divisão é igual a +”)
cos A = 0,125
observação: O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,125 mede aproximadamente 83 graus ( 83 graus = 0,1219).
Por: Dan. S.
Lei dos Senos
A Lei dos Senos, determina que em um triângulo, a relação do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo, ou seja, a Lei dos Senos demostra que num mesmo triângulo a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto será sempre constante.
Assim, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos é representada pela seguinte fórmula:
Observação: quando o triângulo não for retângulo, ou seja, com ângulo interno de 90º, e acutângulos , com ângulos menor que 90º ou obtusângulos , com ângulos maiores que 90º, devemos utilizar as Leis dos Senos e dos Cossenos.
Exemplo:
1) Determine o valor de x no triângulo a seguir.
Observe que : sen120º = sen(180º – 120º) = sen60º = √3/2 ou 0,865
sen45º = √2/2 ou 0,705.
Por: Dan. S.
veja
também :
quinta-feira, 20 de agosto de 2015
Lei dos Cossenos
Lei
dos Cossenos
A Lei dos Cossenos é
uma das leis da Trigonometria. A trigonometria é a área da matemática que
estuda as relações entre as medidas dos lados de um triângulo, formado por dois
catetos, ou seja, dois lados, um oposto e o outro adjacente e uma hipotenusa,
que é o lado oposto ao ângulo reto.
A Lei dos Cossenos
mostra que: em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à
soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois
lados pelo cosseno do ângulo entre eles.
Considere um
triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:
Observe que: O
quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas
vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por
eles ( para qualquer triângulo).
Exemplos:
1) Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do
segmento x.
a² = b² + c² – 2 * b
* c * cosalfa
6² = x² + 5² – 2 * 5
* x * cos60º
36 = x² + 25 – 10* x
* 0,5
36 = x² + 25 – 5x
x² –5x +25 -36 = 0
x² –5x - 11 = 0
Observe que x² –5x -
11 = 0 é uma equação do segundo grau, então vamos usar o método resolutivo da
equação do segundo grau.
x’ = 13,3 e x” = –
3,3, como se tratar de medidas descartamos x” = –3,3 e utilizamos x’ = 13,3.
Dessa forma o valor de x no triângulo é 13,3 cm
obs: utilizei o
método de de completar quadrados para encontrar as raízes da equação do segundo
grau.
2)
um triângulo ABC, temos as seguintes
medidas: AB = 5cm, AC = 6cm e BC = 4cm. Determine a medida do ângulo A.
Usando a lei dos cossenos
Lembrando que:
a = 6, b =5 e c = 4
6² = 5² + 4² – 2 * 5 * 4 * cos A
36 = 25 + 16 – 40 * cos A
36 – 25 – 16 = –40 * cos A
–5 = –40 * cos A
-5/-40 = cos A (“ - com – na divisão é igual a +”)
cos A = 0,125
observação: O ângulo que possui cosseno com valor
aproximado de 0,125 mede aproximadamente 83 graus ( 83 graus = 0,1219).
Por: Dan. S.
Por: Dan. S.
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