Polígonos regulares/ triângulo equilátero inscrito e circunscrito

Polígonos regulares/ triângulo equilátero inscrito e circunscrito

árias de figuras planas

Ária do losango

O Losango é uma figura plana que esta na categoria dos quadriláteros ( Polígonos que possuem 4 lados, 4 vértice e 4 ângulos são chamados de quadriláteros).

O quadrilátero ABCD é um losango, cujas dimensões diagonais medem D e d ( D e d representa as diagonais).

Observe o losango abaixo:

A ária desse losango e dada pela seguinte equação      

   

Onde :

A = ária do losango

D = diagonal maior

d = diagonal menor

obs:  O paralelogramo e o losango possui as mesmas características. Com essa informação podemos deduzir que o cálculo da área do paralelogramo pode ser utilizado no cálculo da área do losango.

 Isso porque:

O losango é formado por dois triângulos idênticos, com base igual a d  e altura igual a D / 2.

Onde:

D = diagonal maior

d = diagonal menor

Sabendo que a figura acima forma dois triângulos e que a ária desses triângulos é dada respectivamente pela equação,


A = d . D
         2 
         2 

vamos desenvolver a seguinte operação A losango = Atri1 + Atri2:

Ária do círculo

Irei apresentar abaixo a maneira geral de calculara a ária do círculo, veja:

Obs: A área do círculo é diretamente proporcional ao raio, que é a distância entre o 

centro e a borda do circulo.

Onde :

A = aria  círculo

Pi =  é aproximadamente  3, 14 ( é uma constante)

r = raio

Exemplo:

Seja o circulo

A ária é igual a:

(Usando a formula) A = pi.r^2 = 3,14.(5cm)^2 = 78,5 cm^2 ( ^ significa elevado )

Obs: usamos como unidade de medida cm.

Ária do cone

Calcular a ária de uma figura espacial consiste no cálculo de toda a aria da superfície desta figura.

Antes de aprendermos a realizar o cálculo da ária do cone vamos aprender um pouco sobre os elementos de um cone.

Elementos de um cone

Os elementos que podem ser identificados em um cone são:

CONE

   Vértice: O vértice do cone acima é o ponto E, onde ocorre os segmentos de retas.

   Geratriz: A geratriz do cone é qualquer segmento que tenha um ponto  no vértice do cone e o outro na curva que envolve a base.

     Altura: A altura do cone é a distância do vértice  ao plano da base.

     Superfície lateral: A superfície lateral de um cone é a união de todos os segmentos de reta que tem uma ponto em E e a outra na curva que envolve a base.

     Superfície do cone: A superfície do cone  é a união da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.

     Eixo: O eixo do cone é o segmento de reta que passa pelo vértice E e pelo centro da base.

       Seção meridiana: A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano.

      Base: A base de um cone é a região plana contida no interior da curva.   

Veja a separação dos elementos do cone:

Cone

Cone planificado

Foi preciso separar as partes  do cone para podermos calcular a ária através da figuras planificadas.

Primeiro: vamos calcular a ária da base

Área da base

Como a base é um circulo, vamos usar a equação do circulo.

 Veja a formula para a ária da base:

A = pi.r^2  ( onde: pi vale aproximadamente 3, 14..., r é o raio e ^ significa elevado )

Área lateral

Através da planificação do cone vamos calcular a ária lateral.

Veja:

na planificação  do cone temos:

r =  raio

g = geratriz

2pir = perímetro da base do cone

Através desses dados podemos fazer:

Obs: É necessário calcular  o setor circular, para isso é preciso utilizar uma regra de três simples.

veja:

Relacionando todos esses dados, obtemos:

Dados:

A = pi.r^2  (área da base)

A = pi.r.g ( ária lateral)

Ária total do cone

A(total) = A(base) + A(lateral)

= pi.r^2  + pi.r.g = pi.r ( g + r)

Finalmente a ária total é:

A (total) = pi.r ( g + r)

Onde :

pi é aproximadamente 3, 14, r é o raio, g é a geratriz

Exemplo:

Usando a equação para a aria total do cone

A (total) = pi.r ( g + r)

Seja um cone de g = 10  e r = 6

A (total) = pi.r ( g + r) = 3, 14 x 6 ( 10 + 6 ) = 18,84 ( 10 + 6 ) =

188,4 + 113,04 = 301,44 ( supondo que a unidade de medida seja o cm, temos 301,44 cm^2 )

Ária do triângulo

Uma das aplicações do triângulo. A forma triangular das estruturas metálicas  chamadas de  “Treliça” servem para aumentar a rigidez , não perderem a forma quando submetidas ao estresse  e evitar que se tenha uma estrutura pesada e como consequência as  estruturas desse  tipo  são extremamente fortes e capazes de suportar uma grande quantidade de força, sem alterar a forma ou causar ruptura.

Veja alguns exemplos:

Existe mais aplicações da forma triangular, entretanto o que nos interessa aqui é aprender como calcular a aria de um triângulo.

Aria do triângulo

Definição de Área: Área é a quantidade de espaço de uma superfície.

Considere:

Onde:

A = área

b = base

h = altura

Formula para calcular a ária do triângulo

Exemplos de calculo de área:

1:

Seja o triângulo

 

2)

Seja o triângulo

 

Obs: Usamos cm como unidade de medida.

Área da região circular     

primeiro: O que é Geometria Plana ?

A geometria plana ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga.

A geometria plana  é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem volume, Esse estudo analisa   as diferentes formas de objetos, e baseia-se em três conceitos básicos: ponto, reta e plano. O ponto era considerado um elemento que não tinha definição plausível, a reta era definida como uma sequência infinita de pontos e o plano definido através da disposição de retas.  A geometria plana  também é chamada de euclidiana  porque representa uma homenagem ao geômetra Euclides de Alexandria, isso porque ele é considerado o “pai da geometria”.   

A palavra  geometria é a união das palavras “geo” (terra) e “metria” (medida);  assim, obtemos:  "medida de terra".

Segundo: Depois dessa introdução vamos usar  as propriedades da geometria plana para  determina a área da região circular .

A circunferência

Geralmente as pessoas confundem circunferência com círculo, entretanto, existe diferença entre o círculo e a circunferência.

Observe :

A parte interna da circunferência é o circulo e a circunferência é a linha que limita o círculo.

Obs 1: No caso da circunferência, o raio ( o raio é a distância entre o centro da circunferência até a borda ) é fundamental para o cálculo da ária.

Observe:

     A área de uma região circular é calculada pela equaçãoA = pi x r^2 

( ^2 = elevado a 2 ) , em que r é a medida do raio e pi uma letra grega de valor fixo “igual” a 3,14( aproximado).

Vamos ver um exemplo pratico do calculo da ária circular:

Seja a região circular com raio de 30cm, a  ária da região circular e dada pela equação

A = pi x r^2 ( ^2 = elevado a 2 ). Veja:

A = pi x r^2 = 3,14 x (30cm)^2 = 2.826 cm^2

  

Obs: cm^2  é unidade de medida de ária 

Área do paralelogramo

primeiro: O que é Geometria Plana ?

A geometria plana ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga.

A geometria plana  é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem volume, Esse estudo analisa   as diferentes formas de objetos, e baseia-se em três conceitos básicos: ponto, reta e plano. O ponto era considerado um elemento que não tinha definição plausível, a reta era definida como uma sequência infinita de pontos e o plano definido através da disposição de retas.  A geometria plana  também é chamada de euclidiana  porque representa uma homenagem ao geômetra Euclides de Alexandria, isso porque ele é considerado o “pai da geometria”.   

A palavra  geometria é a união das palavras “geo” (terra) e “metria” (medida);  assim, obtemos:  "medida de terra".

Segundo: Depois dessa introdução vamos usar  as propriedades da geometria plana para  determina a área de um paralelogramo.

Veja: Antes de aprender como calcular a área de um paralelogramo e útil saber sobre os tipos de paralelogramos.

Tipos de paralelogramos:

obs: Todo quadrilátero que possui os lados oposto paralelos é chamado de paralelogramo. Através dessa informação podemos dizer que o quadrado, o retângulo e o losango são paralelogramos.

Este é um paralelogramo

onde: A = área, b = base e h = altura

 Conhecendo a base e a altura do paralelogramo é possível calcular a aria.

Exemplo pratico do uso da fórmula acima:

*Calcule a área do paralelogramo abaixo:

Usando a fórmula fica:

A = base x altura = 22cm x 18 cm = 396 cm^2 ( ^ = elevado )

A = 396 cm^2

Obs: cm^2  é unidade de medida de ária 


por: Dan. S.