Princípio Fundamental da Contagem

Princípio Fundamental da Contagem

A grosso modo: O princípio fundamental da contagem nos passa a ideia de que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer.

Considere um evento composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal maneira que as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, assim o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m*n.

Veja isso em:

Combinação de elementos

Obs: Vamos usar o princípio fundamental da contagem.

Exemplos:

Exemplo 1:

Uma loja de bicicletas tem os seguintes modelos :

Primeiro modelo

 Este modelo esta disponível em 3 cores diferentes:

Azul, Amarelo, vermelho

Segundo modelo

Este modelo esta disponível em 2 cores diferentes:

Branco e verde

Terceiro modelo

Este modelo esta disponível em 4 cores diferentes:

Laranja, rosa, preta e cinza

PERGUNTO:

Usando as cores do primeiro, segundo e terceiro modelo, quantas  combinações de cores diferentes  podem ser feitas para um quarto modelo de bicicleta de 3 cores diferentes ?

Dados:

Primeiro modelo

3 tipos de cores diferentes

Segundo modelo

2 tipos de cores diferentes

Terceiro modelo

4 tipos de cores diferentes

OBS: A combinação para o novo modelo de bicicleta envolverá 3 cores diferentes.

 Assim para descobrir a quantidade de combinações possíveis basta multiplicar a quantidade de cores de cada modelo da seguinte maneira:

3 x 2 x 4 = 24 ( é possível fazer 24  combinações de  cores para o quarto modelo )

Obs: para descobrirmos o número de opções possíveis, devemos multiplicar as quantidades de cada item, como está demostrado acima.

Exemplo 2:

seja:

Primeiro modelo

Este modelo esta disponível em  cores diferentes:

verde, Amarelo, vermelho

Segundo modelo

Este modelo esta disponível em 3 cores diferentes:

 Branco, azul, roxo

Terceiro modelo

Este modelo esta disponível em 4 cores diferentes:

Laranja, rosa, preta e cinza

PERGUNTO:

Usando as cores do primeiro, segundo e terceiro modelo, quantas  combinações de cores diferentes  podem ser feitas para um quarto modelo de carro de 3 cores diferentes ?

Dados:

Primeiro modelo

3 tipos de cores diferentes

Segundo modelo

3 tipos de cores diferentes

Terceiro modelo

4 tipos de cores diferentes

OBS: A combinação para o novo modelo de carro envolverá 3 cores diferentes.

 Assim para descobrir a quantidade de combinações possíveis basta multiplicar a quantidade de cores de cada modelo da seguinte maneira:

3 x 3 x 4 = 36 ( é possível fazer 36  combinações de  cores para o quarto modelo )

Obs: para descobrirmos o número de opções possíveis, devemos multiplicar as quantidades de cada item, como está demostrado acima.

Por: Dan. S. 

veja também:

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permutacao

Fatorial

Fatorial

Na matemática o fatorial é uma ferramenta utilizada na análise combinatória, a qual,  determina  o produto dos antecessores de um número maior que 1.

Modelo matemático:

n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1

O produto n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1  é chamado de n fatorial e é indicado por  n! ( símbolo ).

Observação: n é o numero total de elementos e n tem que ser maior igual a dois.

Veja alguns exemplos:

2! = 2 x 1 = 2

3! = 3 x 2 x 1 = 6

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 5040

8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320

9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 362880

A utilização de fatorial é comum no cálculo de anagramas de uma palavra, veja:

Para refrescar a  cabeça: ANAGRAMAS

O que é Anagrama?

Anagrama é a construção de várias palavras a partir de uma primeira palavra, em que é alterada a sua ordem original trocando as letras de lugar. Na Matemática, através da permutação, é possível descobrir quantas combinações uma palavra pode ter.

Obs: Os anagramas estão diretamente ligados a análise combinatória e aos cálculos feitos para alcançar o número possível de trocas de letras.

Exemplos:

1)        Determine o número de anagramas da palavra LIVRO.

Observe que a palavra LIVRO tem 5 elementos distintos.

Assim:

5!  = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 ( 120 anagramas )

Pois, para a primeira posição podemos colocar 5 letras, para a segunda 4, para a terceira 3, para a quarta 2 e para a quinta 1.

2)        Determine o número de  anagramas da palavra AMOR.

Observe que a palavra AMOR tem 4 elementos distintos.

Assim:

4!  =  4 . 3 . 2 . 1 = 24 ( 24 anagramas )

Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 . 3 . 2 . 1 = 24  ( 24 anagramas ou possibilidade)

Veja alguns anagramas:

ROMA, AMRO, MARO, etc.

Observe:  Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição.

por: Dan. S. 

veja também:

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·        fatorial

permutacao

Permutação

Permutação

Em agrupamentos que podem ser formados por  um certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um agrupamento e outro seja apenas pela mudança de posição entre seus elementos, recebe o nome de permutação simples. Em outras palavras, permutação é uma das formas de se combinar os elementos de um determinado grupo.

Por exemplo:

As permutações simples dos elementos de 1,2,3 são:

123, 132, 213, 231, 312, 321

Vamos calcular algumas permutações através de fatorial.

Definição de fatorial:

n! = n.(n – 1). (n – 2). (n – 3)...3.2.1

Exemplos:

1)    Determine o número de anagramas da palavra LIVRO.

Observe que a palavra LIVRO tem 5 elementos distintos.

Assim:

5!  = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 ( 120 anagramas )

Pois, para a primeira posição podemos colocar 5 letras, para a segunda 4, para a terceira 3, para a quarta 2 e para a quinta 1.

2)    Determine o número de  anagramas da palavra AMOR.

Observe que a palavra AMOR tem 4 elementos distintos.

Assim:

4!  =  4 . 3 . 2 . 1 = 24 ( 24 anagramas )

Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 . 3 . 2 . 1 = 24  ( 24 anagramas ou possibilidade)

Veja alguns anagramas:

ROMA, AMRO, MARO, etc.

Observe:  Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição.

3)Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ORDEM?

Observe que a palavra ORDEM possui 5 letras distintas.

Assim:

5!  = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 ( 120 anagramas )

Pois, para a primeira posição podemos colocar 5 letras, para a segunda 4, para a terceira 3, para a quarta 2 e para a quinta 1.

Quando houver repetição de letras

Se houver repetição de letras, devemos dividir o resultado pelo fatorial da quantidade de letras repetidas:

Por exemplo:

CANOA

A palavra CANOA tem 5 letras, entretanto, 2 letras são iguais.

5! = 5.4.3.2.1 = 120

Devemos fazer:

120/ 2! = 60 anagramas para CANOA.

por: Dan. S.

ANAGRAMAS

ANAGRAMAS

O que é Anagrama?

Anagrama é a construção de várias palavras a partir de uma primeira palavra, em que é alterada a sua ordem original trocando as letras de lugar. Na Matemática, através da permutação, é possível descobrir quantas combinações uma palavra pode ter.

Obs: Os anagramas estão diretamente ligados a análise combinatória e aos cálculos feitos para alcançar o número possível de trocas de letras.

Permutação

Em agrupamentos que podem ser formados por  um certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos, recebe o nome de permutação simples.

Por exemplo:

As permutações simples dos elementos de 1,2,3 são:

123, 132, 213, 231, 312, 321

Pn  é a permutação simples de n elementos distintos, podemos calculá-la através da seguinte fórmula:

Pn = n!

Anagramas

Exemplos:

1)    Determine o número de anagramas da palavra LIVRO.

Observe que a palavra LIVRO tem 5 elementos distintos.

Assim:

P5 = 5!  = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 ( 120 anagramas )

Pois, para a primeira posição podemos colocar 5 letras, para a segunda 4, para a terceira 3, para a quarta 2 e para a quinta 1.

2)    Determine o número de  anagramas da palavra AMOR.

Observe que a palavra AMOR tem 4 elementos distintos.

Assim:

P4 = !  =  4 . 3 . 2 . 1 = 24 ( 24 anagramas )

Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 . 3 . 2 . 1 = 24  ( 24 anagramas ou possibilidade)

Veja alguns anagramas:

ROMA, AMRO, MARO, etc.

Observe:  Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição.

3)Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ORDEM?

Observe que a palavra ORDEM possui 5 letras distintas.

Assim:

P5 = 5!  = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 ( 120 anagramas )

Pois, para a primeira posição podemos colocar 5 letras, para a segunda 4, para a terceira 3, para a quarta 2 e para a quinta 1.

por: Dan.S.

veja também:

·        principio-fundamental-da-contagem

·        fatorial

permutacao