Fatoração de um numero natural

Fatoração de um numero natural

Primeiro - Através da multiplicação de números primos podemos escrever os números naturais.

Segundo - A decomposição de um número pode ser feita através da divisão desse numero pelos seguintes números:

2,3,5,7,11,13,...

Veja alguns exemplos de decomposição:

Vamos decompor os seguintes números em fatores primos 10, 20, 30, 122.

10

Observe que: 10 = 5 x 2

Lista: 2,3,5,7,11,13.

Observe que 10 pode ser dividido por 2, então foi dividido por 2, se fosse 15 seria dividido por 3 que vem antes do 5 ( obs: se um número for divisível por 3 e por 5, use primeiro o número 3 )

20

observe que: 20 = 2 x 2 x 5

(Lista: 2,3,5,7,11,13)

Observe que 20 pode ser dividido por 2, então foi dividido por 2.

Obs: Devemos tentar dividir por 2, depois por 3, depois por 5, depois por 7, assim por diante ( observe que testamos do menor para o maior).

30

 

Observe que: 30 =  2 x 3 x 5

(Lista: 2,3,5,7,11,13)

Observe que 30 pode ser dividido por 2, então foi dividido por 2.

Obs: Devemos tentar dividir por 2, depois por 3, depois por 5, depois por 7, assim por diante ( observe que testamos do menor para o maior).

144

Observe que: 144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3

(Lista: 2,3,5,7,11,13)

Observe que 144 pode ser dividido por 2, então foi dividido por 2.

Obs: Devemos tentar dividir por 2, depois por 3, depois por 5, depois por 7, assim por diante ( observe que testamos do menor para o maior).

por: Dan. S.

Múltiplos de um número

Múltiplos 

veja: 

Sequência de múltiplos de um número é:

1)    0,2,4,6,8,10,12...

2)    0,1,2,3,4,5,6...

Essas sequências são obtidas multiplicando os números naturais por 2 e 1.

Exemplo:

1)

0x2=0

1x2=2

2x2=4

3x2=6

4x2=8

5x2=10

6x2=12

...

2)

0x1=0

1x1=1

2x1=2

3x1=3

4x1=4

5x1=5

6x1=6

...

Obs: As sequências  desses números são infinitas

A sequência dos múltiplos de 2 “ vai de 2 em 2’’; a sequência dos múltiplos de 1 “vai de 1 em 1”, entretanto, muitas outras sequencias vão  de 2 em 2 e muitas outras sequências vão de 1 em 1.

Exemplo:

Sequência de 2 em 2

1)    2,4,6,8,10,12...

2)    10,12,14,16,18...

Sequência de 1 em 1

1)    5,6,7,8,9,10...

2)    11,12,13,14,15,16...

Múltiplo

Será que 425 é múltiplo de 5?

Para saber se existe um número natural que multiplicado por 5 dê 425, fazemos:

se multiplicarmos 85x5=425, então 425 é múltiplo de 5.

A divisão de 425 por 5 é exata, então 425 é divisível por 5. Por outro lado, 36 não é múltiplo de 5.

veja:

A divisão não é exata ( o resultado dessa divisão é 7,2)

7x5=35 ( não estamos usando números “quebrados”)

Obs: Como o resto é 1 basta subtrair 1 do dividendo para que a divisão fique exata.

por: Dan. S. 

M.M.C (minimo múltiplo comum)

   O  minimo múltiplo comum de dois ou mais números é o menor múltiplo positivo e diferente de zero comum a todos eles.

  algumas observações importantes:

  1) zero é múltiplo de todos os números naturais.

  2) um número tem infinitos múltiplos.

  3) números primos entre si

         

   Exemplo:

         Os números 20 e 21 são números primos entre si, pois m.d.c (20,21) = 1. (pois o 1  é o único divisor comum ao 20 e ao 21)

         Os números 4 e 8 não são números primos entre si, pois m.d.c (4,8) = 8.(Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1).

 minimo múltiplo comum 

    Dois ou mais números sempre tem múltiplos comuns entre eles.

  Observe:

  Vamos encontrar os  múltiplos comuns de 4 e 8

múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...

múltiplos de 8: 0, 8, 16, 24, ...

   São  múltiplos comuns de 4 e 8 : 0, 8, 16, 24, ... entre esses múltiplos, diferentes de zero, 8 é o menor entre eles. Portanto 8 é o múltiplo comum de 4 e 8.

   Exemplo:

 M (10) = 0, 10, 20, 30, 40, ...

 M (20) = 0, 20, 40, 60, 80, ...

     O m.m.c entre 10 e 20 é 20 ( pois o  menor múltiplo comum entre eles é o  20 ).

  -  Segunda forma de encontrar o m.m.c. Através da fatoração vamos encontrar o m.m.c entre 10 e 20. Nessa forma devemos escolher  os fatores comuns de maior expoente e termos não comuns.

     Primeiro: decompomos os números em fatores primos.

   segundo: o m.m.c é o produto dos fatores comuns e não-comuns.

     10 = 2 x 5

     20 = 2 x 2 x 5

Agora escrevemos a fatoração dos números em forma de potência, temos:

    10 = 2 x 5

    20 = 2² x 5 

  m.m.c(10;20) = 2² x 5 = 20

   O m.m.c. de dois ou mais números é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

- Terceira forma de encontra o m.m.c.

      Decomposição simultânea  

É o processo em que decompomos todos os números ao mesmo tempo. O produto dos fatores primos encontrados nessa decomposição é o m.m.c

     exemplo:

 m.m.c ( 10, 20, 30 )

portanto: m.m.c (10,20,30) = 2 x 2 x 5 x 5 = 100