limites

limites

1 propriedades/limite

2 operações elementares

Derivada da função logarítmica.

Vamos ver nessa postagem a seguinte derivada:

Derivada da função logarítmica.

O que é derivada ?

Derivada X taxa de variação instantânea . o conceito de derivada esta  relacionada a taxa de variação instantânea de uma função. Como exemplo temos:

A taxa de variação de temperaturas;

A taxa de variação de corpos em movimento (física);

A taxa de crescimento econômico do pais;

ETC.

Agora vamos discutir sobre a derivada da função logarítmica.

derivada da função expoencial

Vamos ver nessa postagem a seguinte derivada:

Derivada da função exponencial .

O que é derivada ?

Derivada X taxa de variação instantânea . o conceito de derivada esta  relacionada a taxa de variação instantânea de uma função. Como exemplo temos:

A taxa de variação de temperaturas;

A taxa de variação de corpos em movimento (física);

A taxa de crescimento econômico do pais;

ETC.

Agora vamos discutir sobre a derivada da função exponencial.

Obs: ^ é o expoente.

Seja f(x) = a^x , com a >0 e a diferente de 1, então  f`(x) = a^xlna com a>0 e a diferente de 1.

Através desses dados obtemos a seguinte formula:

f(x) = a^u

f`(x) = a^u.lna.u`

u pode assumir o valor de números ou expressões

obs: Essa é uma regra que pode ser aplicada em qualquer função exponencial que tenha essa configuração.

exemplos:

1 f(x) = 3^x

f`(x) = 3^x .ln3

onde:

3^x e a própria função e ln3 é o ln da base.

2 f(x) = 3^x^2

f`(x) = 3^x^2 . ln3.2x = 2x. 3^x^2.ln3

onde:

3^x^2 é a própria função, ln3  é  o ln da base e 2x é a derivada de x^2.

3 quando temos f(x) =  e^x a derivada é a própria função e^x.

f(x) = e^x

f`(x) = e^x = x`.e^x = e^x

pois a derivada de x é 1

OBS: o número de Euler vale aproximadamente  2,71828.

4 usando a regra da cadeia y`(x) = g`(u).f`(x):

Seja f(x) = e^u

f`(x) = e^u . u`

regra da cadeia:

y`(x) = g`(u).f`(x)

exemplos:

1       f(x) = e^x^3 + 2

f`(x) = e^x^3 + 2 . 3x^2

pela regra da cadeia  y`(x) = g`(u).f`(x) 

y`(x)= ( e^x^3+2)`;  g`(u)=(e^u)`; f`(x)= u`= (x^3+2)` =

= y`(x)=e^u.(x^3+2) = y`(x) = 1.e^u.3x^2

Substituindo u por x^3+2, obtemos:

Y`(x) = e^x^3+2 . 3x^2

2       f(x) = e^senx

f`(x) = e^senx . cosx ( cosx é a derivada de senx)

pela regra da cadeia

y`(x) = g`(u).f`(x) 

y`(x) = (e^senx)`; g`(u) = (e^u)`; f`(x) = u`= (senx)`

= e^u`.u` = substituindo u por senx, obtemos:

e^senx . cosx

derivada de constante

Derivada de constante

Derivada representa a taxa de variação de uma função.

Seja f(x) uma função constante f(x) = k, onde k pertence ao conjunto dos números reais, a sua derivada é igual a zero.

É muito comum utilizarmos a notação dx/dy (que se lê ´´a derivada de y em relação a x``) e a notação f`(x)( que representa a derivada de f(x).

Vamos praticar!

Derive as seguintes funções:

Obs: vamos usar a notação f`(x).

1

a)     f(x) = 1000  é um número

f`(x)=0 (derivada representada por f`(x))

b)    f(x) =35384545 é um número

f`(x) =0

c)     f(x)= - 1000000000 é um número

f`(x) =0

observe:  não importa o tamanho da constante a sua derivada sempre será zero.

Seja f(x) uma função constante f(x) = k, onde k pertence ao conjunto dos números reais, a sua derivada é igual a zero.

podemos demostrar isso através da expressão abaixo:

limites/propriedades com exercícios resolvidos

propriedades dos limites

Exercícios resolvidos:

limites/1

   Limites

Introdução

     Saber trabalhar com limite é de fundamental importância no estudo do cálculo.

 um dos fundamentos do Cálculo é constituído pelo conceito de limite, isso porque,  para definir derivada, continuidade, integral, convergência, divergência, é utilizado esse conceito.

  

   O registro histórico, no entanto, e justamente oposto a essa ideia. Por muito tempo, a noção de limite foi confundida com idéias vagas, às vezes filosóficas relativas ao infinito, números infinitamente grandes ou infinitamente pequenos.

  A definição moderna de limite surgiu nos séculos XVIII e XIX, originário da Europa.  Tal  ferramenta matemática é bastante utilizada em várias árias do conhecimento, como a engenharia, a astronomia, a biologia, a física, etc.

1 Limite e continuidade

1.1 Noção intuitiva de limite

  O  objetivo dessa primeira postagem é mostrar uma definição intuitiva de limite.

 Através de uma regra pré-estabelecida podemos escolher um conjunto de números no conjunto de números reais.

Observe as sucessões abaixo:

Observe as sucessões numéricas 1,2 e 3.

 Sucessão 1

1,2,3,4,5,6,7...

A ideia que essa sucessão nos passa e que podemos marca um número real qual quer na sucessão que sempre encontraremos um termo maior que o marcado.  Assim podemos dizer que os termos dessa sucessão tende para o + infinito.

Podemos fazer:

Denota-se por x tendendo para o + infinito.

Sucessão 2

0,-1,-2,-3,-4,-5...

 A ideia  que essa sucessão nos passa é  que podemos marcar um número real qual quer na sucessão que sempre encontraremos um termo  menor que o marcado.  Assim podemos dizer que os termos dessa sucessão tende para o – (menos) infinito.

Podemos fazer:

 Denota-se por x tendendo para o – infinito.

Sucessão 3

1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8...

A ideia que essa sucessão nos passa é que os termos crescem mais não, ilimitadamente. Esses termos se aproxima cada vez mais perto do 1, mais nunca atinge esse valor.

Podemos fazer:

Denota-se  por x tendendo a 1.

 - o conceito limites de uma função

1 Seja a função f(x) = 3x+1

Para x tendendo a 1 ( x tendendo a 1, não x=1)

Na tabela teremos:

-pela sua direita valores maiores que 1

-pela sua esquerda valores menores que 1

Tabela 1

X	Y=3x+1	X	Y=3x+1
2	7	0.5	2.5
1.5	4.5	0.7	3.10
1.10	4.3	0.8	3.40
1.05	4.15	0.95	3.85
1.001	4.003	0.99	3.97

observe:

Note que a medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 4, ou seja, quando x tende a 1(x->1, y tende a 4 (y-> 4)

Em geral, fazemos:  

O limite da função é 4.

Obs: não é preciso que x seja 1. Se f(x) tende para 4 (f(x)->4), dizemos que o limite de f(x) quando x->1  é 4, mesmo quando possam ocorrer casos para os quais x=1 o  valor de f(x) não seja 4.

Em geral, fazemos: 

Obs: quando x tende a a (x->a) , f(x)  tende a b (f(x) -> b).

·          seja a função y=1-1/x

para x -> +/- o infinito ( x tende a +/- o infinito, não x= +/- infinito

Na tabela teremos:

-pela sua direita valores tendendo para + infinito

-pela sua esquerda valores tendendo para – infinito

Tabela 2

X	Y=1-1/x	X	Y=1-1/x
1	0	-1	2
2	1/2	-2	3/2
3	2/3	-3	4/3
4	3/4	-4	5/4
5	4/5	-5	6/5
. . .	. . .	. . .	. . .

observe:

Note que a medida que x tende para o +/- infinito y->1.

Denota-se por:

 propriedades dos limites 

            RELACIONADOS :

CLIQUE

5 TABELA DE DERIVADAS BÁSICAS

veja a demonstração das  derivadas:

CLIQUE

1 COSECX

CLIQUE

2 COTGX

CLIQUE

3 SECX

CLIQUE

4 TGX

CLIQUE

6 SENX

CLIQUE

7 COSX

CLIQUE

PROPRIEDADES DOS LIMITES