Polígonos regulares/ triângulo equilátero inscrito e circunscrito

Polígonos regulares/ triângulo equilátero inscrito e circunscrito

Polígonos regulares/ quadrado inscrito e circunscrito

Polígonos regulares/ quadrado inscrito e circunscrito

Como determinar o raio e o centro da circunferência quando é conhecia a equação da circunferência?

Como determinar o raio e o centro da circunferência quando é conhecia a equação da circunferência?

Por exemplo: Determine o centro e o raio da circunferência de equação x^2 +y^2 – 4x – 4y + 4 = 0.

x^2 +y^2 – 4x – 4y + 4 = 0   passa a ser x^2 – 4x +y^2 – 4y  = -4

obs: os elementos que tem x ficam com os que tem x (x^2 – 4x ) e os elementos que tem y ficam com os elementos que tem y(y^2 – 4y ) e os elementos constantes (4  obs: lembrando que quando um elemento muda de lado em uma equação ele passa para o outro lado mudando de sinal) passam para o segundo membro da equação.

x^2 – 4x +y^2 – 4y  = -4   escreva essa equação na seguinte configuração

x^2 – 4x +         +y^2 – 4y +        = -4+        +

obs: vamos usar o método de completar quadrados.

Para   x^2 – 4x +       multiplique -4 ( o coeficiente de x ) por 1/2

-4.1/2 = -2 e depois eleve o resultado dessa multiplicação ao quadrado

 -2^2 = 4

Para y^2 – 4y multiplique -4 ( o coeficiente de y ) por 1/2

-4.1/2 = -2 e depois eleve o resultado dessa multiplicação ao quadrado -2^2 = 4

Agora reescreva a equação x^2 – 4x +         +y^2 – 4y +        = -4+        +

Somando os resultados 4 aos elementos de x e 4 aos elementos de y e somando 4 + 4 na parte constante.

Fica assim:  x^2 – 4x +    4     +y^2 – 4y +   4     = -4+   4     + 4

=  x^2 – 4x +  4 +y^2 – 4y +  4  =  4 temos os seguintes quadrados perfeitos

(x – 2)^2 + (y – 2)^2 = 2^2

Assim a circunferência terá raio centro C ( 2,2) e raio 2.

Faça o processo acima para as seguintes equações:

1)    X^2 + y^2 -6x -4y + 12= 0

2)    X^2 + y^2 + 10 =

3)    X^2+y^2 -2x + 4y – 4 =0

  

Coordenadas cartesianas

Coordenadas cartesianas

Os nomes “coordenadas cartesianas” e “sistema cartesiano ortogonal” são derivados do nome de Descartes, que em latim é chamado de Renatus Cartesius - fora da matemática o termo cartesiano é usado para designar uma pessoa metódica e sistemática, Isso por que as ideias filosóficas de Descartes primavam pelo rigor racional e pela sistematização.

O que é geometria analítica?

O que é geometria analítica?

A integração entre a geometria e a álgebra é responsável por grandes progressos na ciências de modo geral e principalmente na matemática – a integração entre a geometria e a álgebra deu origem ao nome geometria analítica. 

A geometria analítica é calcada na ideia de representar os pontos de uma reta através de números reais e os pontos de um plano por pares ordenados de números reais. Por exemplo, as linhas no plano, circunferência, elipse, retas, etc - são descritas através de equações por meio da geometria analítica.

retas concorrentes

Retas concorrentes

 (resposta rápida)

Em  geometria euclidiana, são chamadas de concorrentes as retas de um plano que têm um único ponto comum, consequentemente suas direções são diferentes, não 

havendo paralelismo entre elas.

                                                     Fonte: wikipedia

Há uma caso particular, as retas perpendiculares, que se interceptam a 90 graus, ou seja, um ângulo reto.

Arquivo em: respostas rápidas 

Formas planas e não planas

Formas planas e não planas

Quando desenhamos uma figura plana  em uma folha de papel, tal figura plana fica toda contida no plano da folha. Por outro lado, quando pegamos um objeto (por ex: uma caixa de fósforos) e colocamos sobre uma folha, partes desse objeto “ saem”, ou seja, não conseguimos fazer com que esse objeto fique totalmente contida no plano. Os dois exemplos acima como forma plana e não plana.

Veja exemplos de figuras planas e não planas:

Formas planas

(uma pequena amostra)

                                                         manchas

retângulo         

pentágono 

quadrado      

                                                                            circulo

triângulo

Formas não planas

 ( uma pequena amostra )

cone

esfera 

cubo 

Arquivo: Matemática

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CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

Geralmente as pessoas confundem circunferência com círculo, entretanto, existe diferença entre o círculo e a circunferência. 

A  circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano em que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo, ou seja, o centro da circunferência.

O círculo é o conjunto de todos os pontos de um plano em que a distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada.

Obs1: Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto.

Obs2:O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. 

VEJA A REPRESENTAÇÃO:

A parte interna da circunferência é o circulo e a circunferência é a linha que limita o círculo.

Obs 1: No caso da circunferência, o raio ( o raio é a distância entre o centro da circunferência até a borda ) é fundamental para o cálculo da ária.

Observe:

     A área de uma região circular é calculada pela equaçãoA = pi x r^2 

( ^2 = elevado a 2 ) , em que r é a medida do raio e pi uma letra grega de valor fixo “igual” a 3,14( aproximado).

Vamos ver um exemplo pratico do calculo da ária circular:

Seja a região circular com raio de 30cm, a  ária da região circular e dada pela equação

A = pi x r^2 ( ^2 = elevado a 2 ). Veja:

A = pi x r^2 = 3,14 x (30cm)^2 = 2.826 cm^2

  

Obs: cm^2  é unidade de medida de ária 


Arquivo: Matemática          

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Medidas de ângulos

O grau é a unidade de medida de ângulos mais usada no nosso dia a dia. Nos estudos relacionados ao círculo trigonométrico trabalhamos com outra unidade de medida de ângulos, o radiano.  É importante saber converter graus em radianos ou radianos em graus. Veja como fazer a conversão de graus em radianos e radianos em graus:

                     

COMO CONVERTER RADIANOS EM GRAUS

  As unidades usadas para medir ângulos são denominados graus e radianos . Um circulo compreende 2pi  radianos, equivalente a 360 graus.

   2pi ou 360 graus representam um volta completa no circulo.

Relações entre unidades em graus e radianos:

FIGURA 1

Convertendo

Para converter graus para radianos utilizamos regra de três simples, exemplos:

Exemplo 1

Para converter  15 graus em radianos

FIGURA 2

Exemplo 2

Para converter  12 graus em radianos 

FIGURA 3

CONVERTENDO RADIANOS EM GRAUS 

Para converter radianos em graus basta substituir o valor de pi por 180 graus.

FIGURA 1

FIGURA 2

FIGURA 3

por: Dan. S.

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ângulos congruentes

A congruência entre ângulos

Veja na figura acima que AÔB e CÔD têm a mesma medida. Eles são ângulos congruentes. Assim concluímos que dois ângulos são congruentes se tiverem a mesma medida.

Dois ângulos são congruentes se, superpostos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem.

Obs: Dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.

As propriedades da congruência é reflexiva, simétrica e transitiva.

Arquivo: Matemática

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RAIO,CORDA E DIÂMETRO

RAIO,CORDA E DIÂMETRO

Sendo que:

DC corda, EB diâmetro, AO raio.

O  Raio de uma circunferência  é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência( nesse caso em A).

A  Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência ( na figura acima DC).

O Diâmetro de uma circunferência  é uma corda que passa pelo centro da circunferência ( na figura acima EB).

Obs: O diâmetro é a maior corda da circunferência. 

Arquivo: Matemática

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Aria das principais figuras planas

Aria das principais figuras planas

Quadrado

 Fórmula para calculara a ária do quadrado:

A = a . h = a^2 (^ elevado)

Retângulo                                    

 Fórmula para calculara a ária do retângulo:

A = a . h

Losango

Fórmula para calculara a ária do losango:

A = diagonal maior . diagonal menor / 2

Círculo

Fórmula para calculara a ária do círculo:

A = pi . r^2

Paralelogramo

Fórmula para calculara a ária do paralelogramo:

A = a . h

Trapézio 

Fórmula para calculara a ária do trapézio:

A = (base maior + base menor ) . h / 2

Triângulo

Fórmula para calculara a ária do triângulo:

A = a . h / 2

Legenda: Nas formulas acima, a é base e h, altura.

por: Dan. S.