transformando números decimais em frações decimais

Transformando números decimais em frações

Dados os números decimais 0,1 , 0,01 , 0,001, 0,5, 1,23  e 0,022 escrevemos:

0,1 (número decimal) e 1/10 (fração)

• 0,1 (lê-se "um décimos"), ou seja,  1/10.
• 0,01 (lê-se "um centésimos"), ou seja,  1/100.
• 0,001 (lê-se "um milésimos"), ou seja, 1/1000
•  0,5 (lê-se "cinco décimos"), ou seja, 5/10.
• 1,23 (lê-se "cento e vinte e três  centésimos"), ou seja, 123/100.
•  0,022 (lê-se "vinte e dois milésimos"), ou seja, 22/1000

ATENÇÃO: Observe a relação das casas decimais com a quantidade de zeros.

0,1 (uma casa decimal)  1/10 (um zero)

(“para uma casa decimal, um zero”)

0,1 = 1/10

0,5 (uma casa decimal)  5/10 (um zero)

0,5 = 5/10

0,01 ( duas casas decimais) 1/100 ( dois zeros)

0,01 = 1/000

0,001 ( três casas decimais) 1/1000 ( três zeros)

0,001 = 1/1000

0,022 ( três casas decimais) 22/1000 ( três zeros)

0,022 = 22/1000

1,23 ( duas casas decimais) 123/100 ( dois zeros)

1,23 = 123/100

Transformando Frações em números decimais 

- basta dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador.

ATENÇÃO : Observe a relação dos zeros com as casas decimais.

  

1/10 (um zero)   0,1 (uma casa decimal)  

1/10 = 0,1

5/10 (um zero)  0,5 (uma casa decimal)  

5/ 10 = 0,5

 1/100 ( dois zeros) 0,01 ( duas casas decimais)

1/100 = 0,01

1/1000 ( três zeros)   0,001 ( três casas decimais)

1/1000 = 0, 001

22/1000 ( três zeros)   0,022 ( três casas decimais)

22/1000 = 0, 022

123/100 ( dois zeros)  1,23 ( duas casas decimais)

123/100 = 1,23

Arquivo: Matemática 

Simplificação de frações

Simplificação de frações

Para  simplificar uma fração devemos reduzir respectivamente o numerador e o denominador através da divisão pelo máximo divisor comum aos dois números ( numerador e denominador).

Quando os termos de um fração estão totalmente simplificados, é porque estão reduzidos a números que não possuem termos divisíveis entre si.

Obs: As frações simplificadas sofrem  alterações no  numerador e do denominador, entretanto,  o valor matemático não é alterado, isso porque a fração quando tem seus termos reduzidos se torna uma fração equivalente.

Por exemplo:

(podemos fazer) 12/18 = 2/3 ( dividimos 12 por 6 e 18 por 6)

2/3 é a fração irredutível de 12/18

(Ou)  12/18 = 6/9 = 2/3 ( dividimos 12 por 2 e 18 por 2, dividimos 6 por 3 e 9 por 3)

2/3 é a fração irredutível de 12/18

Para simplificar uma fração devemos dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número.

Por exemplo:

12/18 = 12:2 / 18: 2 ( dividimos o numerador e o denominador por 2)= 6/9 = 6:3/9:3 ( dividimos o numerador e o denominador por 3) = 2/3

12/18 = 12:2 / 18: 2= 6/9 = 6:3/9:3 = 2/3

2/3 é a fração irredutível de 12/18

Podemos simplificar a fração através do máximo divisor comum aos dois termos.

por exemplo:

O máximo divisor comum aos números 15 e 20  é 5. Assim:

15/20 = 15 : 5 / 20:5 = 3/4

Mais exemplos de simplificação:

1) o mdc entre 12 e 18 é 6, então:

12/18 = 12 : 6 /18 : 6 = 2/3

2) o mdc entre 6 e 9 é 3, então:

6/9 = 6 : 3 / 9 : 3 = 2/3

3) o mdc entre 15 e 25 é 5, então:

15/25 = 15 : 5 / 25 : 5 = 3/5

Observe que:  Para tornar uma fração em uma fração irredutível, devemos dividir o numerador e o denominador pelo maior divisor comum. 

Por: Dan.S.

Multiplicação e divisão de frações

DEFINIÇÃO DE FRAÇÃO

 Como representa a quantidade referente ao número 1 dividido em 4 partes iguais?

-Através de uma fração!

 1/4

Geralmente n/m é a representação genérica do valor n dividido por m partes iguais, com m diferente 0.

 Em todas as frações, o elemento superior é chamado de numerador e o elemento inferior é chamado denominador.

Dessa maneira concluímos que :

uma Fração é a maneira de se representar uma quantidade a partir de um valor, que é dividido por um determinado número de partes iguais.

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES

Na multiplicação de frações, multiplicamos os numeradores e multiplicamos os denominadores .

Exemplos :

Ex a.

2 x 1/3 = 2/3

Ex b.

1/3  x  2/4 = 2/12 = 1/6

Ex c.

1/3 x 2/5 x 6/7 = 12/105 =  4/35 ( na forma irredutível )

A forma irredutível é aquela que não é possível simplificar mais

Ex.

3/4  ( não da pra simplificar )

INVERSA DE UMA FRAÇÃO

Observe alguns produtos:

Ex a2.

1/3 x 3/1  = 3/3 =1

Ex b2.

3/5 x 5/3 = 15/15 1

Observando esses produtos, concluímos que, quando o produto de duas frações é igual a 1 ( nesse caso), essas frações são inversas uma da outra.

( obvio )

DIVISÃO DE FRAÇÕES

Exemplo A:

Figura a3.

Dividir por 1/4 é o mesmo que multiplicar por 4, que é a inversa de ¼.

Exemplo B:

Ex  b3.

3/4  / 1/8 = 3/4  x 8/1 = 24/4 = 6

Dividir por  1/8 é o mesmo que multiplicar por 8, que é a inversa de 1/8.

Observe que a divisão de frações consiste em multiplicar o numerador pelo inverso do denominador. 

EXERCÍCIOS 

1)    CALCULE:

a)     2/5  /  2/3

b)    2/4 / 6/5

c)     2/3 / 1/4

d)    2/7 / 1/5

2)    QUAL  DOS SEGUINTES NÚMEROS É O MAIOR ?

a)    1/2 / 1/3

b)     1/3 x 1/2

RESPOSTAS DOS EXERCICIOS:

1) a) 3/5 b) 5/12 c) 8/3 d) 10/7  2)  a) 3/2 b) 1/6 ( portanto,  b é a resposta correta )

legenda:

/ = divisão

x = multiplicação

Adição e subtração de frações

DEFINIÇÃO DE FRAÇÃO

 Como representa a quantidade referente ao número 1 dividido em 4 partes iguais?

-Através de uma fração!

 1/4

Geralmente n/m é a representação genérica do valor n dividido por m partes iguais, com m diferente 0.

 Em todas as frações, o elemento superior é chamado de numerador e o elemento inferior é chamado denominador.

Dessa maneira concluímos que :

uma Fração é a maneira de se representar uma quantidade a partir de um valor, que é dividido por um determinado número de partes iguais.

Adição e subtração de frações 

   Adição de frações  com denominadores iguais

Na adição de frações com denominadores iguais, procedemos da seguinte maneira:

*Soma-se os numeradores

*Mantem-se  o denominador

EXEMPLO A:

Ex a.

1/3 + 2/3 = 3/3 = 1

(foi somado os numeradores e mantido o denominador )

Em que 1 e 2 são os numeradores e 3 é o denominador.

Ex a1.

2/6 + 3/6 = 2+3 / 6 = 5/6 
(foi somado os numeradores e mantido o denominador )

Em que 2 e 3 são os numeradores e 6 é o denominador.

Ex a2.

1/2  + 1/2  = 1 +1 / 2 = 1
(foi somado os numeradores e mantido o denominador )

Em que 1 e 1 são os numeradores e 2 é o denominador.

    Subtração de frações de denominadores iguais

Na subtração de frações de denominadores iguais, procedemos da seguinte maneira:

 *subtraímos  os numeradores

 * mantemos o denominador

EXEMPLO B:

Ex  b.

4/8 – 3/8 = 1/8  (foi subtraído os numeradores e mantido o denominador)

 Em que 4 e 3 são os numeradores e 8 é o denominador.

Ex  b1.

5/6 – 2/6 = 3/6 (foi subtraído os numeradores e mantido o denominador)

Em que 5 e  2 são os numeradores e 8 é  o denominador .


Adição e subtração de frações de denominadores diferentes 

Ex c.

1/2 + 1/3 = ? ( como resolver? )

 Como as frações tem denominadores diferentes,  a identificação da fração total resultante  se torna mais difícil, mais podemos encontrar frações equivalentes a cada uma  delas que tenham denominadores iguais.

 Veja o exemplo A :

Ex d.

1/2 + 1/3  =  ( vamos usar equações equivalentes para encontrar a fração resultante)

1/2  + 1/3  =  3/6 + 2/6  = 5/6

As frações equivalentes a 1/2  e 1/3 são respectivamente 3/6 e 2/6.

           

Ex d1.

            2/3 + 1/5 = 10/15 + 3/15 = 13/15

Outra maneira de somar duas frações com denominadores diferentes é tirar o mmc dos denominadores .

Veja:

Ex  e.

1/3 + 1/2 = 5/6

Fazendo o mmc  de 2 e 3, obtemos 6.

veja como fica:

Essa é uma maneira alternativa.

SOMA E SUBTRAÇÃO DO TIPO

a)      1 – 1/6  = ? e b) = 7 + 5/6  = ?

Uma alternativa e multiplicar o denominador pelo numero inteiro e subtrair os numeradores ou somar no caso da adição, mantendo sempre o denominador.

Ex f.

1 – 1/6 = 5/6

Veja como fica :

Multiplicamos o denominador 6  por 1 e em seguida subtraímos o 1 de 6.

Ex f2.

7 + 5/6  = 42 + 5/6 = 47/6

veja como fica:

Multiplicamos o denominador 6 por 7 e em seguida somamos 5  a 42.


por: Dan. S.

Dízimas periódicas

O que é dizima periódica?

De maneira simplificada, dízima periódica é uma representação numérica tanto fracionária como decimal, em que existe uma sequência infinita de algarismos. Em outras palavras, os numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, é dado o nome de dízimas periódicas  ou  números decimais periódicos .

Exemplos:

1)2/7 = 0,2857...

2)1/9 = 0,1111...

3)7/3 = 2,3333...

4)5/9 = 0,5555...

Classificação das dizimas periódicas

Quando o período aparece logo após à virgula a dízima é periódica simples.

Veja exemplos:

1)4/13 = 0, 307692307692… (Período: 307692)

2)2/3 = 0, 666666 … (Período: 6)

3)31/33 = 0, 93939393 … (Período: 93)

Quando existe uma parte não repetitiva entre a vírgula e a parte periódica a dízima é chamada de periódica composta.

Exemplos:

1)35/42 = 0,833...( Período: 3 , Parte não periódica: 8)

2)35/36 = 0, 9722… (Período: 2 ; parte não periódica: 97)

3)44/45 = 0,977.... (Período: 7 , Parte não periódica: 9)

4)35/36 = 0,97222... (Período: 2 , Parte não periódica: 97)

Geratriz de uma dízima periódica

 A fração ( número racional ) é a geratriz da dízima periódica que deu origem a dízima periódica.

Exemplos:

1)2/7 é a geratriz da dízima periódica composta  0,2857...

2)1/9  é a geratriz da dízima periódica simples 0,1111...

3)5/9  é a geratriz da dízima periódica simples 0,5555...

Determinação da geratriz de uma dízima periódica

Determinação da geratriz de uma dízima simples:

   

    A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem como numerador o período e o denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Por exemplo:

1)0, 2323… = 23/99

2)0, 7777 … = 7/9

Determinação da geratriz de uma dízima composta:

   A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma n/d, em que o numerador n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica e o denominador d é formado por tantos “noves” quantos forem os algarismos do período, seguidos de tantos “zeros” quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Por exemplo:

1)0, 04777... =  047 – 04 / 900 = 43 / 900

2)0, 1252525 … = 125 – 1/990 = 124/990

3)0, 03666 … = 036 – 03/900 = 33/900 = 11/300

 por: Dan. S.