COMPLETANDO QUADRADOS
Veja um método prático de resolver equações do segundo grau sem sabermos
a fórmula de Bhaskara, o método de completar quadrados.
O método de al-Khowarizmi. O matemático
al-Khowarimi desenvolveu um processo geométrico para a resolução de equações de
segundo grau com uma incógnita.
Figura 1. área de um quadrado como soma de áreas retângulos e quadrados menores.
Analisando a
figura 1, observamos que é uma
representação geométrica da expressão (a+b) ² .
Por essa representação geométrica, vemos que:
(a+b) ² = a² +
2ab + b²
Em que:
a² é a área do
quadrado de lado a
2ab é a área de
um retângulo de lado a e b
b² é a área do
quadrado de lado b
obs: passo a
passo da expressão (a+b) ².
(a+b) ² = a² +
2ab + b² =>
(a+b) ² = (a +
b)(a + b) = a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²
( essa expressão
de uso frequente no cálculo algébrico é chamado de produto notável,
especificamente, quadrado da soma de dois termos.)
Obs: (a+b) ² é diferente de
a² + b² ( pois a² + b² é somente uma parte de
(a+b) ²).
Exemplo 1:
Interpretando
geometricamente a expressão
x² + 8x, complete
o quadrado.
Figura 2a
Escrevemos:
x² + 8x = x² +
2(4x)
x² é a área de um quadrado de lado x
2(4x)
4x é a área de um retângulo de lados 4 e x
Para completar o quadrado acrescentaremos o
quadrado de lados 4
Figura
2b
Analisando
a figura:
Quando acrescentamos o quadrado de lado 4, ou seja, de área 4², podemos adicionar 4² à expressão x² + 8x, obtendo x² + 8x + 4². x² + 8x + 4² é um trinômio quadrado perfeito.
Dessa maneira podemos
escrever:
Passo a
passo
x² + 8x + 4²
(expressão algébrica correspondente à área so quadrado formado) = x² + 8x + 16 (trinômio quadrado perfeito)
(x+4)² ( forma
fatorada do trinômio)
(x+4)² = (x +
4)(x+4) = x² + 4x + 4x + 4² = x² + 8x + 4²
Obs: x²
+ 8x é diferente de x² + 8x + 16
COMPLETANDO
QUADRADOS
O
processo de Al-Khowarimi:
·
Resolver a equação x² + 8x + 15 = 0
Escrevendo:
Primeiro passo
x² + 8x = x² +
2(4x)
x² é a área do quadrado de
lados x
4x é a área de um retângulo
cujos lados medem 4 e x
Segundo passo Pela (figura 2b)
foi necessário acrescentar o número 4², ou seja, 16 à expressão x² + 8x, para
obter o quadrado.
Geometricamente descoberto o valor que devemos
acrescentar à expressão x² + 8x (que é 16)
manipularemos a expressão dada:
Passo
três
x² + 8x + 15 = 0
x² + 8x = -15 (principio aditivo)
x² + 8x + 16 = -15 +16 (princípio de equivalência das
equações)
passo quatro
Ao acrescentarmos 16 à expressão x² + 8x no
primeiro membro da equação e 16 ao segundo membro da equação, obteremos uma
nova equação equivalente a anterior.
Passo cinco
x² + 8x + 16 = -15 +16 =
= x² + 8x + 16 = 1
fatorando o trinômio quadrado perfeito obtido no
primeiro membro, temos a equação
(x + 4 )² = 1
Dai que:
(x + 4 )² = 1
(x + 4) =
x + 4 = 1
x = -3
ou
(x + 4) =
x + 4 = -1
x = -1 – 4
x = -5
os números reais -3 e -5 sãos as raízes da equação x²
+ 8x + 15 = 0.
por: Dan. S.
