Introdução às igualdades
A expressão: 10 - 2 + 6 - 2 envolve apenas números. Essa expressão é uma expressão Aritmética.
Você já deve ter conhecido as operações fundamentais e suas propriedades. A parte da matemática que trabalha com essas expressões é a Aritmética.
As expressões:
a)2x + 3 o dobro de um número é somado a 3
b)x + 2x + 2 um número adicionado ao dobro de outro número somado a 2
Muitas vezes somos obrigados a combinar letras com números. Essa parte da matemática em que usamos letras é chamada de Álgebra.
Sentença matemática
No cotidiano usamos sentenças para nos comunicar em conversas e na linguagem escrita.
Na matemática, também usamos sentenças, para fazer afirmações sobre números. Em sentenças matemáticas, usamos símbolos no lugar de palavras. A seguir são apresentados alguns símbolos:
= ( igual a ) ≠ ( diferente de ) > ( maior que ) < ( menor que )
Igualdade
Denominamos de 1° membro os termos da igualdade que aparecem à esquerda do sinal da igualdade, o 2° membro, os termos à direita do sinal da igualdade.
exemplo:
3 + 2 = 5 3 + 2 ( primeiro membro ) e 5 ( segundo membro )
princípios
1) Quando adicionamos aos dois membros de uma igualdade um mesmo número, obtemos uma nova igualdade.
exemplo:
3 + 2 = 5 quando adicionamos o número 2 na expressão (3 + 2) + 2 = (5) + 2
obtemos respectivamente 7 no primeiro membro e 7 no segundo membro
2) Quando multiplicamos os dois números da igualdade por um mesmo número, diferente de zero, obtemos uma nova igualdade.
exemplo :
3 + 2 = 5 quando multiplicamos os dois membros por 2 na expressão (3 + 2)2 = (5)2
obtemos respectivamente 10 no primeiro membro e 10 no segundo membro
equação de 1° grau: definição
A expressão: 10 - 2 + 6 - 2 envolve apenas números. Essa expressão é uma expressão Aritmética.
Você já deve ter conhecido as operações fundamentais e suas propriedades. A parte da matemática que trabalha com essas expressões é a Aritmética.
As expressões:
a)2x + 3 o dobro de um número é somado a 3
b)x + 2x + 2 um número adicionado ao dobro de outro número somado a 2
Muitas vezes somos obrigados a combinar letras com números. Essa parte da matemática em que usamos letras é chamada de Álgebra.
Sentença matemática
No cotidiano usamos sentenças para nos comunicar em conversas e na linguagem escrita.
Na matemática, também usamos sentenças, para fazer afirmações sobre números. Em sentenças matemáticas, usamos símbolos no lugar de palavras. A seguir são apresentados alguns símbolos:
= ( igual a ) ≠ ( diferente de ) > ( maior que ) < ( menor que )
Igualdade
Denominamos de 1° membro os termos da igualdade que aparecem à esquerda do sinal da igualdade, o 2° membro, os termos à direita do sinal da igualdade.
exemplo:
3 + 2 = 5 3 + 2 ( primeiro membro ) e 5 ( segundo membro )
princípios
1) Quando adicionamos aos dois membros de uma igualdade um mesmo número, obtemos uma nova igualdade.
exemplo:
3 + 2 = 5 quando adicionamos o número 2 na expressão (3 + 2) + 2 = (5) + 2
obtemos respectivamente 7 no primeiro membro e 7 no segundo membro
2) Quando multiplicamos os dois números da igualdade por um mesmo número, diferente de zero, obtemos uma nova igualdade.
exemplo :
3 + 2 = 5 quando multiplicamos os dois membros por 2 na expressão (3 + 2)2 = (5)2
obtemos respectivamente 10 no primeiro membro e 10 no segundo membro
equação de 1° grau: definição
Equação é toda sentença matemática representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam o valor de um termo desconhecido, que será representado por uma letra(incógnita), cuja representação mais usual se dá por x, y e z. O prefixo equa, em latim quer dizer "igual".
equação geral do primeiro grau:
ax + b = 0 (a e b são números conhecidos e a ≠ 0)
subtraindo b dos dois lados obtemos:
ax = -b
agora dividimos por a os dois termos:
x = -b
a
conjunto universo e conjunto verdade de uma equação
1 Considere o conjunto b = {0, 1, 2, 3, 4,} e a equação 3 + x = 6.
O número 3 do conjunto b é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa equação.
2 Os números inteiros que satisfazem a equação x² = 4
O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.
Os números -2 e 2, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {-2, 2}.
observe:
O conjunto de todos os valores que a variável pode assumir é o Conjunto Universo.
O conjunto dos valores de U, que tornam a equação verdadeira é o Conjunto verdade.
O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.
O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S.
raízes da equação
As raízes da equação são os elementos do conjunto verdade .
Para verificar se um número é raiz de uma equação:
Substituímos a incógnita por esse número;
Damos os valores de cada membro da equação;
Verificamos a igualdade, se for uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.
exemplos:
qual dos elementos do conjunto B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, } podemos colocar no lugar da letra x para torna a sentença verdadeira 2 + x = 4 ?
2 + x = 4 = 2 + (0) = 4 F
2 + x = 4 = 2 + (1) = 4 F
2 + x = 4 = 2 + (2) = 4 V
2 + x = 4 = 2 + (3) = 4 F
Observe o elemento é o número 2; pois os outros não tornam a sentença verdadeira.
Nas equações temos:
1) Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incógnitas;
2) Um sinal de igualdade, denotado por =.
3) Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro e uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro.
exemplos:
a) equação com uma incógnita representada pela letra x.
10x + 5 = 10
b) equação com uma incógnita representada pela letra y.
12 + 2x = 14
c) equação com duas incógnitas representas pelas letras x e y.
y - x = 12
não são equações:
a) 2² - 3 = 4 - 3 embora seja uma igualdade não apresenta incógnitas
b) 2² -3 = 2² - 3 embora seja uma igualdade não apresenta incógnitas
c) 2 + x > 12 embora apresente elementos desconhecidos, não apresenta uma igualdade
resolução de equação do 1° grau com uma incógnita:
A resolução de uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do conjunto universo considerado.
exemplo 1:
para resolver uma equação: Insolamos no 1° membro os termos da equação que apresentam a incógnita e, no 2° membro, os termos que não apresentam a incógnita.
veja:
se U = Q ( Q - Conjunto dos números Racionais = todo numero que pode ser escrito na forma a/b, com a , b pertencente ao conjunto Z e b diferente de 0 ; frações, números decimais...)
3x + 5 = 2 - 2x
3x + 2x = 2 - 5 3x + 2x primeiro membro 2 - 5 segundo membro
5x = -3
x = -3
5
-3 ∈ Q, então V = -3
5 5
1 (3x + 2x = 5x é o 1° membro apresentando os termos da equação com incógnitas)
2 (2 - 5 = -3 é o 2° membro apresentando os termos da equação que não apresentam incógnitas)
3 ( 3x + 2x = 2 - 5 = 5x = -3 aplicamos as operações indicadas entre os termos semelhantes)
4 ( x = - 3/5 O coeficiente numérico da letra x do 1º membro deve passar para o outro lado, dividindo o elemento do 2º membro da equação)
para saber se a sentença é verdadeira
É feita substituindo o valor de x na equação, observe:
3x + 5 = 2 - 2x
substituindo x = -3/5 => -0,6
3(-3/5)+ 5 = 2 - 2(-3/5)
3,2 = 3,2 sentença verdadeira
Todas as equações podem ser resolvidas dessa maneira.
exemplo 2:
2x – 2x + 5 = 5 + 2x – 20
2X - 2X -2X = 5 - 5 -20
-2X = -20
X = -20
-2
X = 10
2x - 2x - 2x primeiro membro 5 - 5 - 20 segundo membro Insolamos no 1° membro os termos da equação que apresentam a incógnita e, no 2° membro, os termos que não apresentam a incógnita.
para saber se a sentença é verdadeira
É feita substituindo o valor de x na equação, observe:
2X - 2X + 5 = 5 + 2X -20
substituindo x = 10
-2.10 = -20
-20 = -20 sentença verdadeira
exemplo 3:
2 . (4x - 4) = 3 . (3x - 1). → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação
2 . 4x - 2 . 4 = 3 . 3x - 3 . 1
8x - 8 = 9x - 3
8x - 9x = - 3 + 8
-x = 5
x = -5
para saber se a sentença é verdadeira
É feita substituindo o valor de x na equação, observe:
2 . 4x - 2 . 4 = 3 . 3x - 3 . 1
substituindo x = -5
8(-5) - 8 = 9(-5) - 3
-40 - 8 = - 45 - 3
-48 = -48
Exercícios resolvidos; Equação de primeiro grau
1) resolva os exercícios abaixo:
a) Encontre o conjunto solução da equação 5x + 8 = 18.
5x + 8 = 18
5x = 18 - 8 os elementos que tem incógnitas no primeiro membro; os que não tem incógnitas no segundo membro
5x = 10
x = 10 = 2
5
portanto: S = {2}
b) Encontre a raiz da equação 8x -12 = - 4x .
8x -12 = -4x
8x + 4x = 12
12x = 12
x = 12 = 1
12
portanto: a raiz é 1
c) U = {4,6,8 } é o cojunto universo da equação 5x - 10 = 0. qual é o conjunto verdade(ou conjunto solução) desta equação?
5x - 10 = 0
5x = 10
x = 10
5
x = 2
portanto: U não é o conjunto universo da equação.
d) Encontre o conjunto verdade da equação 4x = -6 + 2x .
4x = -6 + 2x
4x -2x = -6
2x = -6
x = -6
2
x = -3
portanto: V = { -3 } é o conjunto solução da equação.
e) -6 é raiz da equação x + 10 = 4?
x + 10 = 4
x = 4 -10
x = -6
portanto: sim, pois -6 é raiz da equação.
2) exercícios:
a) Dada a equação x + 6 = 2(x -2). Como descobrir x ?
x + 6 = 2(x - 2)
x + 6 = 2x - 4 pela propriedade da distributiva
x - 2x = -4 -6
-x = -10
x = 10
portanto: o valor de x é 10.
por: Dan. S.
por: Dan. S.
