Regra de três composta

Regra de três composta  

Na regra de três simples fazemos comparações entre duas grandezas,

, com isso,  montamos uma proporção para calcular um quarto elemento relacionando os três existentes.  (Obs: Na regra de três simples há comparações entre duas grandezas). Por outro lado,  quando a regra de três apresenta três ou mais grandezas ela é classificada como composta.

O que é regra de três composta ?

 É um processo prático para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

Para entender melhor a regra de três composta e a sua forma de resolução, veja alguns exemplos a seguir:

Exemplo 1

Trabalhando 7 horas por dia, durante 15 dias, Antônio recebeu R 1.100,00. Se trabalhar 5 horas por dia, durante quantos dias Antônio deve trabalhar para receber R 1 500,00 ?

H/d	Dias	R
7	15	1100
5	X	1500

( * multiplicação , / divisão)

15/X = 5/7*1.100/1.500  

Obs:

(5/7 inversamente proporcional( invertemos a coluna de H/d)) 

(1.100/1.500   diretamente proporcional (foi mantido a coluna R)

15/X = 5.500/10.500 

15 * 10.500 = 5.500 * X

X = 157.500/5.500

X = 28,64 ( aproximadamente)

Exemplo 2

4 torneiras despejam 1.000 litros de água em um reservatório em 5 horas. Em quanto tempo 8 torneiras despejarão 3.000 litros de água?

Torneiras	Água (L)	Tempo (h)
4	1.000	5
8	3.000	X

O número de torneiras e tempo é inversamente proporcionais. (ou seja , temos que inverter a coluna de torneiras)

Por outro lado, Litros de água e tempo são diretamente proporcionais.

Assim:

( * vezes, / divisão)

4/X = 8/4 * 1.000/3.000 

10/X = 8.000 / 12.000   

8.000 * X = 10 * 12.000

X = 120.000 / 8.000

X = 15 horas

Obs: invertemos a coluna de torneiras.

Exemplo 3

Usando um ventilador 60 minutos por dia, durante 16 dias, o consumo de energia será de 12 kWh. Quantos Kwh  será consumido pelo mesmo ventilador se ele for usado 80 minutos por dia, durante 18 dias?

M/d	Dias	Kwh
60	16	12
80	18	x

Obs:

O Tempo e kW/h são diretamente proporcionais e dias e kW/h são diretamente proporcionais

12/X =  60/80 * 16/20 

12/X = 960/1600  

960*X = 12*1600 

X = 19.200/960

X = 20

O consumo será de 20  kWh.

Por: Dan. S.

Regra de três simples

Regra de três simples

A regra de três simples é um método prático para resolver problemas que envolvam quatro valores, desses quatro, os quais conhecemos três valores; divididos em pares, cujos valores tem a mesma grandeza e mesma unidade. Devemos, assim, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.  A regra de três pode ser considerada diretamente proporcional ou inversamente proporcional.

A regra de três é muito utilizada na Matemática, Física, Engenharia, Química, etc no cálculo de conversão de grandezas: Tempo,  volume, comprimento, área, velocidade, massa, etc.

Veja alguns exemplos:

Exemplo 1

Antônio leu um livro de história em 6 dias, lendo 10 páginas por dia. Se Antônio tivesse lido 5 páginas por dia, quanto tempo ele levaria para ler  o livro?

Dias	Páginas por dia
6	10
X	5

Se Antônio ler mais páginas por dia demorará menos tempo para ler o livro de História,  entretanto, se ele diminuir as páginas lidas a cada dia, ele aumenta o tempo de leitura.

Vamos usar a regra de três  para determinar a quantidade de dias (x).

Observe que: Nesse caso a regra de três é proporcionalmente inversa.

x ---------------- 10

6 ---------------- 5

Multiplicando cruzado, obtemos:

5 * x = 6 * 10

5x = 60

x = 60/5

x = 12

Assim levará 12 dias para Antônio ler o livro.

Exemplo 2

Os R$ 400,00 que Mario possui correspondem a 40% do valor que ele tinha. Qual era o valor que Mario tinha?

R$	%
400	40
X	100

OBS: A regra de três é diretamente proporcional. Nesse caso não invertemos os termos, multiplicamos cruzado.

Multiplicando cruzado, obtemos:

40x = 400 x 100

40x = 40.000

x = 40.000 / 40

x = 1000

O valor Mario tinha era de R$ 1000,00

Veja o que é diretamente proporcional e inversamente proporcional

Grandeza

   A grandeza é o conceito que descreve qualitativa e quantitativamente as relações entre as propriedades observadas no estudo da natureza (em sentido amplo). Grandeza é tudo aquilo que envolve medidas. Medir é comparar uma quantidade de uma grandeza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe um unidade padrão. Unidades de medidas  é um quantidade específica de uma determinada grandeza física e serve de padrão para comparações, as quais, usamos de padrão para outras medidas.

     Exemplos: o volume, a aria, o comprimento, o tempo, a capacidade, a massa são grandezas com unidades de medidas especificas.

Proporcionalidade entre as grandezas 

   

- Proporcionalidade é a relação entre as grandezas matemáticas.

  Os dois tipos de proporcionalidade entre grandezas são:

Grandezas diretamente proporcionais.

 - As grandezas aumentam ou diminuem proporcionalmente e simultânea. A consequência é que a razão entre as grandezas são constantes. Se, x, y e k são diretamente proporcionais aos números racionais a, b e c quando:

    

    x/a = y/b = k/c 

(a razão entre as grandezas são constantes)

Observe:

*RESERVATÓRIO DE ÓLEO 

TEMPO (mim)	DESLOCAMENTO DO ÓLEO (cm)
8	12
12	16
14	20
16	24
18	28

Observe o que acontece quando pegamos a razão entre um número da primeira coluna por sua correspondente na segunda coluna:

   8/12 = 2/3   12/18 = 2/3   16/24 = 2/3   20/30 = 2/3   

( todas as razões são iguais )

exemplos:

1)Verificar se 6, 12 e 32 são diretamente proporcionais aos números 12, 24 e 64.

            

     6/12 = 1/2 = 12/24 = 1/2 32/64 = 1/2

(sendo a razão 1/2,temos; 6, 12 e 32 são diretamente proporcionais a 12,24 e 64)

                                                   

         2) verificar  se 6, 12 e 32 são diretamente proporcionais aos números 10, 24 e 64.

     6/10 = 3/5  12/24  = 1/2  32/64 = 1/2    

( nem todas são  proporcionais; pois a razão 6/10 = 3/5  é diferentes das outras duas razões )

Grandezas inversamente proporcionais

- Quando a grandeza aumenta a outra diminui proporcionalmente. Consequentemente, o produto entre as duas grandezas são constantes.

   x, y e k são inversamente proporcionais aos números racionais a, b e c, quando:   

  x*a=y*b=k*c  (o produto entre as grandezas são constantes)

observe:

*O DESLOCAMENTO DE UMA PESSOA

VELOCIDADE ( m/s )	TEMPO ( s )
4	60
8	30
12	20
16	15

observe o que acontece quando pegamos o produto de um número da primeira coluna pelo seu correspondente na segunda coluna:

a) 4*60 = 240 b) 8*30 = 240 c)12*20 = 240 d)16*15 = 240 

(todos os produtos são iguais)

1)verificando se 110, 40 e 20 são inversamente proporcionais aos números 4, 11 e 22.

110*4 =  440  40*11 =  440 20*22 = 440

( sendo o produto igual a 440, temos; 110, 40 e 20  inversamente proporcionais aos números 4, 11 e 22 )

   

 2)verificando se 110, 40 e 20 são inversamente proporcionais aos números 6, 11 e 22.

       110*6 = 660 40*11 = 440 20*22 = 440

  (110*6 =660 não é inversamente proporcional a 40*11= 440 e 20*22 = 440)

Por: Dan. S

Grandeza

Grandeza

   A grandeza é o conceito que descreve qualitativa e quantitativamente as relações entre as propriedades observadas no estudo da natureza (em sentido amplo). Grandeza é tudo aquilo que envolve medidas. Medir é comparar uma quantidade de uma grandeza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe um unidade padrão. Unidades de medidas  é um quantidade específica de uma determinada grandeza física e serve de padrão para comparações, as quais, usamos de padrão para outras medidas.

     Exemplos: o volume, a aria, o comprimento, o tempo, a capacidade, a massa são grandezas com unidades de medidas especificas.

Proporcionalidade entre as grandezas 

   

- Proporcionalidade é a relação entre as grandezas matemáticas.

  Os dois tipos de proporcionalidade entre grandezas são:

Grandezas diretamente proporcionais.

 - As grandezas aumentam ou diminuem proporcionalmente e simultânea. A consequência é que a razão entre as grandezas são constantes. Se, x, y e k são diretamente proporcionais aos números racionais a, b e c quando:

    
    x/a = y/b = k/c 
(a razão entre as grandezas são constantes)

Observe:

*RESERVATÓRIO DE ÓLEO 

TEMPO (mim)	DESLOCAMENTO DO ÓLEO (cm)
8	12
12	16
14	20
16	24
18	28

Observe o que acontece quando pegamos a razão entre um número da primeira coluna por sua correspondente na segunda coluna:

   8/12 = 2/3   12/18 = 2/3   16/24 = 2/3   20/30 = 2/3   
( todas as razões são iguais )

exemplos:

1)Verificar se 6, 12 e 32 são diretamente proporcionais aos números 12, 24 e 64.

            

     6/12 = 1/2 = 12/24 = 1/2 32/64 = 1/2

(sendo a razão 1/2,temos; 6, 12 e 32 são diretamente proporcionais a 12,24 e 64)

                                                   

         2) verificar  se 6, 12 e 32 são diretamente proporcionais aos números 10, 24 e 64.

     6/10 = 3/5  12/24  = 1/2  32/64 = 1/2    
( nem todas são  proporcionais; pois a razão 6/10 = 3/5  é diferentes das outras duas razões )

Grandezas inversamente proporcionais.

- Quando a grandeza aumenta a outra diminui proporcionalmente. Consequentemente, o produto entre as duas grandezas são constantes.

   x, y e k são inversamente proporcionais aos números racionais a, b e c, quando:   

  x*a=y*b=k*c  (o produto entre as grandezas são constantes)

observe:

*O DESLOCAMENTO DE UMA PESSOA

VELOCIDADE ( m/s )	TEMPO ( s )
4	60
8	30
12	20
16	15

observe o que acontece quando pegamos o produto de um número da primeira coluna pelo seu correspondente na segunda coluna:

a) 4*60 = 240 b) 8*30 = 240 c)12*20 = 240 d)16*15 = 240 
(todos os produtos são iguais)

1)verificando se 110, 40 e 20 são inversamente proporcionais aos números 4, 11 e 22.

110*4 =  440  40*11 =  440 20*22 = 440

( sendo o produto igual a 440, temos; 110, 40 e 20  inversamente proporcionais aos números 4, 11 e 22 )

   

 2)verificando se 110, 40 e 20 são inversamente proporcionais aos números 6, 11 e 22.

       110*6 = 660 40*11 = 440 20*22 = 440

  (110*6 =660 não é inversamente proporcional a 40*11= 440 e 20*22 = 440)


por: Dan. S.                                                                                           

veja também:

·        principio-fundamental-da-contagem

·        fatorial

permutacao