Lei senos e dos cossenos

Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos é uma das leis da Trigonometria. A trigonometria é a área da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados de um triângulo, formado por dois catetos, ou seja, dois lados, um oposto e o outro adjacente e uma hipotenusa, que é o lado oposto ao ângulo reto.

A Lei dos Cossenos mostra que: em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles.

Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:

Observe que: O quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles ( para qualquer triângulo).

Exemplos:

1)   Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x.

a² = b² + c² – 2 * b * c * cosalfa

6² = x² + 5² – 2 * 5 * x * cos60º

36 = x² + 25 – 10* x * 0,5

36 = x² + 25 – 5x

x² –5x +25 -36 = 0

x² –5x - 11 = 0

Observe que x² –5x - 11 = 0 é uma equação do segundo grau, então vamos usar o método resolutivo da equação do segundo grau.

x’ = 13,3 e x” = – 3,3, como se tratar de medidas descartamos x” = –3,3 e utilizamos x’ = 13,3. Dessa forma o valor de x no triângulo é 13,3 cm

obs: utilizei o método de de completar quadrados para encontrar as raízes da equação do segundo grau.

2)   um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 5cm, AC = 6cm e BC = 4cm. Determine a medida do ângulo A.

Usando a lei dos cossenos

Lembrando que:

a = 6, b =5 e c = 4

6² = 5² + 4² – 2 * 5 * 4 * cos A

36 = 25 + 16 – 40 * cos A

36 – 25 – 16 = –40 * cos A

–5 = –40 * cos A

-5/-40 = cos A (“ - com – na divisão é igual a +”)

cos A = 0,125

observação: O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,125 mede aproximadamente 83 graus ( 83 graus = 0,1219). 

Lei dos Senos

A Lei dos Senos, determina que em um triângulo, a relação do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo, ou seja, a Lei dos Senos demostra que num mesmo triângulo a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto será sempre constante.

 Assim, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos é representada pela seguinte fórmula:

Observação: quando o  triângulo não for retângulo, ou seja, com ângulo interno de 90º,  e  acutângulos , com ângulos menor que 90º ou obtusângulos , com ângulos maiores que 90º, devemos utilizar as Leis dos Senos e dos Cossenos.

Exemplo:

1)    Determine o valor de x no triângulo a seguir.

Observe que : sen120º = sen(180º – 120º) = sen60º = √3/2 ou 0,865

sen45º = √2/2 ou 0,705.

Por: Dan. S.

veja também :

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Princípio Fundamental da Contagem

Princípio Fundamental da Contagem

A grosso modo: O princípio fundamental da contagem nos passa a ideia de que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer.

Considere um evento composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal maneira que as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, assim o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m*n.

Veja isso em:

Combinação de elementos

Obs: Vamos usar o princípio fundamental da contagem.

Exemplos:

Exemplo 1:

Uma loja de bicicletas tem os seguintes modelos :

Primeiro modelo

 Este modelo esta disponível em 3 cores diferentes:

Azul, Amarelo, vermelho

Segundo modelo

Este modelo esta disponível em 2 cores diferentes:

Branco e verde

Terceiro modelo

Este modelo esta disponível em 4 cores diferentes:

Laranja, rosa, preta e cinza

PERGUNTO:

Usando as cores do primeiro, segundo e terceiro modelo, quantas  combinações de cores diferentes  podem ser feitas para um quarto modelo de bicicleta de 3 cores diferentes ?

Dados:

Primeiro modelo

3 tipos de cores diferentes

Segundo modelo

2 tipos de cores diferentes

Terceiro modelo

4 tipos de cores diferentes

OBS: A combinação para o novo modelo de bicicleta envolverá 3 cores diferentes.

 Assim para descobrir a quantidade de combinações possíveis basta multiplicar a quantidade de cores de cada modelo da seguinte maneira:

3 x 2 x 4 = 24 ( é possível fazer 24  combinações de  cores para o quarto modelo )

Obs: para descobrirmos o número de opções possíveis, devemos multiplicar as quantidades de cada item, como está demostrado acima.

Exemplo 2:

seja:

Primeiro modelo

Este modelo esta disponível em  cores diferentes:

verde, Amarelo, vermelho

Segundo modelo

Este modelo esta disponível em 3 cores diferentes:

 Branco, azul, roxo

Terceiro modelo

Este modelo esta disponível em 4 cores diferentes:

Laranja, rosa, preta e cinza

PERGUNTO:

Usando as cores do primeiro, segundo e terceiro modelo, quantas  combinações de cores diferentes  podem ser feitas para um quarto modelo de carro de 3 cores diferentes ?

Dados:

Primeiro modelo

3 tipos de cores diferentes

Segundo modelo

3 tipos de cores diferentes

Terceiro modelo

4 tipos de cores diferentes

OBS: A combinação para o novo modelo de carro envolverá 3 cores diferentes.

 Assim para descobrir a quantidade de combinações possíveis basta multiplicar a quantidade de cores de cada modelo da seguinte maneira:

3 x 3 x 4 = 36 ( é possível fazer 36  combinações de  cores para o quarto modelo )

Obs: para descobrirmos o número de opções possíveis, devemos multiplicar as quantidades de cada item, como está demostrado acima.

Por: Dan. S. 

veja também:

·        principio-fundamental-da-contagem

·        fatorial

permutacao

Fatorial

Fatorial

Na matemática o fatorial é uma ferramenta utilizada na análise combinatória, a qual,  determina  o produto dos antecessores de um número maior que 1.

Modelo matemático:

n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1

O produto n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1  é chamado de n fatorial e é indicado por  n! ( símbolo ).

Observação: n é o numero total de elementos e n tem que ser maior igual a dois.

Veja alguns exemplos:

2! = 2 x 1 = 2

3! = 3 x 2 x 1 = 6

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 5040

8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320

9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 362880

A utilização de fatorial é comum no cálculo de anagramas de uma palavra, veja:

Para refrescar a  cabeça: ANAGRAMAS

O que é Anagrama?

Anagrama é a construção de várias palavras a partir de uma primeira palavra, em que é alterada a sua ordem original trocando as letras de lugar. Na Matemática, através da permutação, é possível descobrir quantas combinações uma palavra pode ter.

Obs: Os anagramas estão diretamente ligados a análise combinatória e aos cálculos feitos para alcançar o número possível de trocas de letras.

Exemplos:

1)        Determine o número de anagramas da palavra LIVRO.

Observe que a palavra LIVRO tem 5 elementos distintos.

Assim:

5!  = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 ( 120 anagramas )

Pois, para a primeira posição podemos colocar 5 letras, para a segunda 4, para a terceira 3, para a quarta 2 e para a quinta 1.

2)        Determine o número de  anagramas da palavra AMOR.

Observe que a palavra AMOR tem 4 elementos distintos.

Assim:

4!  =  4 . 3 . 2 . 1 = 24 ( 24 anagramas )

Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 . 3 . 2 . 1 = 24  ( 24 anagramas ou possibilidade)

Veja alguns anagramas:

ROMA, AMRO, MARO, etc.

Observe:  Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição.

por: Dan. S. 

veja também:

·        principio-fundamental-da-contagem

·        fatorial

permutacao