Vamos ver nessa postagem a seguinte derivada:
Derivada da função exponencial .
O que é derivada ?
Derivada X taxa de variação instantânea . o
conceito de derivada esta relacionada a
taxa de variação instantânea de uma função. Como exemplo temos:
A taxa de variação de temperaturas;
A taxa de variação de corpos em movimento (física);
A taxa de crescimento econômico do pais;
ETC.
Agora vamos discutir sobre a derivada da função
exponencial.
Obs: ^ é o expoente.
Seja f(x) = a^x , com a >0 e a diferente de 1,
então f`(x) = a^xlna com a>0 e a
diferente de 1.
Através desses dados obtemos a seguinte formula:
f(x) = a^u
f`(x) = a^u.lna.u`
u pode assumir o valor de números ou expressões
obs: Essa é uma regra que pode ser aplicada em
qualquer função exponencial que tenha essa configuração.
exemplos:
1 f(x) = 3^x
f`(x) = 3^x .ln3
onde:
3^x e a própria função e ln3 é o ln da base.
2 f(x) =
3^x^2
f`(x) = 3^x^2
. ln3.2x = 2x. 3^x^2.ln3
onde:
3^x^2 é a própria função, ln3 é o ln
da base e 2x é a derivada de x^2.
3 quando temos f(x) = e^x a derivada é a própria função e^x.
f(x) = e^x
f`(x) = e^x = x`.e^x = e^x
pois a derivada de x é 1
OBS: o número de Euler vale aproximadamente 2,71828.
4 usando a regra da cadeia y`(x) = g`(u).f`(x):
Seja f(x) = e^u
f`(x) = e^u . u`
regra da cadeia:
y`(x) = g`(u).f`(x)
exemplos:
1
f(x) = e^x^3 + 2
f`(x) = e^x^3 + 2 . 3x^2
pela regra da cadeia y`(x) = g`(u).f`(x)
y`(x)= ( e^x^3+2)`; g`(u)=(e^u)`; f`(x)= u`= (x^3+2)` =
= y`(x)=e^u.(x^3+2) = y`(x) = 1.e^u.3x^2
Substituindo u por x^3+2, obtemos:
Y`(x) = e^x^3+2 . 3x^2
2
f(x) = e^senx
f`(x) = e^senx . cosx ( cosx é a derivada de
senx)
pela regra da cadeia
y`(x) = g`(u).f`(x)
y`(x) = (e^senx)`; g`(u) = (e^u)`; f`(x) = u`=
(senx)`
= e^u`.u` = substituindo u por senx, obtemos:
e^senx . cosx
