Lei senos e dos cossenos

sábado, 22 de agosto de 2015

Lei senos e dos cossenos

Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos é uma das leis da Trigonometria. A trigonometria é a área da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados de um triângulo, formado por dois catetos, ou seja, dois lados, um oposto e o outro adjacente e uma hipotenusa, que é o lado oposto ao ângulo reto.

A Lei dos Cossenos mostra que: em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles.

Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:

Observe que: O quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles ( para qualquer triângulo).

Exemplos:

1) Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x.

a² = b² + c² – 2 * b * c * cosalfa

6² = x² + 5² – 2 * 5 * x * cos60º

36 = x² + 25 – 10* x * 0,5

36 = x² + 25 – 5x

x² –5x +25 -36 = 0

x² –5x - 11 = 0

Observe que x² –5x - 11 = 0 é uma equação do segundo grau, então vamos usar o método resolutivo da equação do segundo grau.

x’ = 13,3 e x” = – 3,3, como se tratar de medidas descartamos x” = –3,3 e utilizamos x’ = 13,3. Dessa forma o valor de x no triângulo é 13,3 cm

obs: utilizei o método de de completar quadrados para encontrar as raízes da equação do segundo grau.

2) um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 5cm, AC = 6cm e BC = 4cm. Determine a medida do ângulo A.

Usando a lei dos cossenos

Lembrando que:

a = 6, b =5 e c = 4

6² = 5² + 4² – 2 * 5 * 4 * cos A

36 = 25 + 16 – 40 * cos A

36 – 25 – 16 = –40 * cos A

–5 = –40 * cos A

-5/-40 = cos A (“ - com – na divisão é igual a +”)

cos A = 0,125

observação: O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,125 mede aproximadamente 83 graus ( 83 graus = 0,1219).

Lei dos Senos

A Lei dos Senos, determina que em um triângulo, a relação do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo, ou seja, a Lei dos Senos demostra que num mesmo triângulo a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto será sempre constante.

Assim, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos é representada pela seguinte fórmula:

Observação: quando o triângulo não for retângulo, ou seja, com ângulo interno de 90º, e acutângulos , com ângulos menor que 90º ou obtusângulos , com ângulos maiores que 90º, devemos utilizar as Leis dos Senos e dos Cossenos.

Exemplo:

1) Determine o valor de x no triângulo a seguir.