conjuntos numéricos fundamentais

NÚMEROS NATURAIS ( N )

A quantidade de qualquer coisa (objetos, pássaros, planetas, pessoas, etc ) empregamos os números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9... 
Esses números são chamados de números naturais.

os números inteiros positivos, incluindo o zero pertencem ao conjunto dos naturais . o conjunto dos números naturais é representado pela letra N maiúscula.

Exemplo:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... }

obs: Os elementos deste conjunto devem estar sempre entre chaves.

O Conjunto dos Naturais não nulos (quando excluímos o zero) colocamos

 * ao lado do N.

exemplo:

N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... }


Os elementos do conjunto N, sempre tem um sucessor e um antecessor.

 3 é o sucessor de 2.

 10 é antecessor de 11.

  zero não tem antecessor no conjunto N

o conjunto N é infinito.

o que é infinito e o que é finito?

os números naturais maiores que 0 é infinito: {1, 2, 3, 4, ...}
os números naturais menores que 3 é finito: {0, 1, 2 }
observação: 

- todo número natural tem um sucessor 

- todo número natural tem um antecessor  (com exerção do zero)


UM NUMERO É PAR OU IMPAR QUANDO: 

-Um número natural é par quando termina em 0,2,4,6 ;
-Os números pares são: 0,2,4,6,8,10,...;
-Um número é ímpar quando termina em 1,3,5,7,...;
-Os números ímpares são: 1,3,5,7,9,11,...


EXERCÍCIOS 

1) Determine

a) O sucessor de 123
R: 124
b) o sucessor de 2.000
R:2.001
c) o sucessor de 110.000
R: 110.001
d) o sucessor de 7.777.779
R: 7.777.780
f) o antecessor de 233
R: 232
g) o antecessor de 34
R: 33
h) o antecessor de 10.000
R: 9.999
i) o antecessor de 7.084.000
R: 7.083.999
j) o antecessor de 10.000.000
R: 9.999.999


2) Adicione
a) 123 com o seu sucessor
R: 123 + 124 = 247
b) 99 com o seus antecessor
R: 99 + 98 = 197

3) Pense em todos os números naturais que se escreve com dois algarismos

a) Quantos são pares?
R: 45
b) Quantos são ímpares?
R: 45

NÚMEROS INTEIROS (  Z )

-Representamos os números inteiros pela letra Z.

( os números inteiros são números reais)

- Nas operações de adição, subtração  e multiplicação o resultado dessas operações entre dois números inteiros é um número inteiro ( dependendo de algumas divisões também obtemos um número inteiro).

Subconjuntos de Z

Z^* = Z {0}

Z+ = CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS 

= { 0 ,1,2,3 ...}

Z _ =  CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS

= { ...-4,-3,-2,-1,0}

Conjunto dos números racionais (Q)

Os números racionais são todos os números que podem ser mostrados na forma de fração ou números decimais compostos por números inteiros, pertencentes ao conjunto dos números reais junto ao conjunto dos números irracionais .

Obs: O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula.

Exemplo de números racionais :

1/5 ou 0, 2

1/2 ou 0,5

3/4 ou 0,6

-1/2 ou -0,5

Obs: Os números 1/ 5, 1/2, 3/4  estão na forma a/b com a,b pertencente a Z e b diferente de 0.

Observações  sobre os números racionais:

Obs 1: Os número decimal exato é  número racional.

Obs 2: As dízimas periódicas é um número racional.

Obs 3: Todo número inteiro é um número racional.

Números decimais com finitas ordens decimais:

1)1 / 10 = 0, 1

2)3/100 = 0, 03

3)-3/100 = -0,03

4)25/100 = 0,25

5)-25/100 = -0,25

 Número decimal com infinitas ordens decimais periódica:

1)1/3 = 0,3333333...

2)5/11 = 0,45454545...

3)4/11 = 0,36363636...

Obs: São dízimas periódicas simples ou compostas.

 Demonstração através da utilização de diagramas:

Obs: Todo número inteiro é um número racional, portanto, o conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto do conjunto dos números racionais (Q).

Conjunto dos números irracionais ( I )

Os números irracionais são os números reais que não são racionais, ou seja, o conjunto de números irracionais é o complemento do conjunto de números racionais. 

São números irracionais:

√2 = 1,4142135 ...

√3 = 1,7320508 ...

√5 = 2,2360679 ...

√8 = 2,8284271 ...

√11 = 3,31662479 ...

Observações:

Obs1: As raízes acima não são exatas.

Obs2: Os números irracionais possuem a principal característica de não possuírem representação na forma fracionária.

Obs3: Os números decimais infinitos não periódicos,  que sua composição à direita da vírgula não admite formação de períodos são números irracionais.

Dentre os mais importantes números irracionais mais temos:

-O número π (pi = 3,14 aproximado).

- O número de Euler (e = 2,71 aproximado).

- O número de ouro (Φ = 1,61 aproximado).

Obs: Raízes referentes a números que não tem quadrados perfeitos  são consideradas irracionais.

Números  Reais ( R )

Os Números Reais é representado pela letra maiúscula R e inclui os seguintes conjuntos:

Números Naturais : N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9,...}

Números Racionais : Q = {...1/2, 3/4,...}

Números Irracionais : I = {...,√2 = 1,41( aproximado), √3 = 3,14(pi aproximado)...}

Números Inteiros : Z= {...,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}

Obs: As letras maiúsculas representam os conjuntos numéricos.

Representação da união dos conjuntos:

Os números reais podem ser representados por qualquer número pertencente aos conjuntos da união acima.

Em que:

R: Números Reais

N: Números Naturais

Q: Números Racionais
I: Números Irracionais

Z: Números Inteiros

Usamos a expressão abaixo para representar a união dos conjuntos.

R = N U Z U Q U I ou R = Q U I

Em que:

U: União

R: Números Reais

N: Números Naturais

Z: Números Inteiros

Q: Números Racionais

I: Números Irracionais

Referência:

Fundamentos de matemática elementar : Conjuntos e funções, volume 1 , quinta edição , são Paulo, Editora ÁTICA , 2005.

por: Dan. S.