Sistemas lineares

Sistemas lineares

Um sistema de equações lineares, abreviado como sistema linear é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis. Os sistemas lineares são úteis em todos os campos, nas engenharias, na física, na biologia, na química, na economia, etc.

São equações lineares:

1)    5x – 7y = 9  é uma equação linear nas incógnitas x e y.

2)    2x + 5y – z = 10 é uma equação linear na incógnitas x, y e z.

3)    2x + 3y – 4z – t = 4  é uma equação linear nas incógnitas x, y, z e t.

De modo geral, uma equação linear  é escrita na forma:

a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ an = b

Em que: x1, x2...xn são incógnitas, a1, a2, a3, ..., an são números reais que recebem o nome de coeficientes das incógnitas e b termo independente.

Não são equações lineares:

xy - 2z + t = 6 ( não é uma equação linear porque ocorre uma multiplicação de incógnitas )

x^2- 5y = 2t – 3 ( ^é expoente ) ( não é uma equação linear pois ocorre o quadrado )

Sistemas de equações lineares

O conjunto S de e m equações lineares em n incógnitas é dada por:

S=     

 

Obs: Um conjunto de equações lineares forma um sistema linear.

Exemplos :

1)

3x + 4y = 8

x – 2y = 4

Esse é um sistema linear com duas equações e duas incógnitas.

2)

7x – 2y – 3z = 12

2x + 5y + 7z = 18

Esse é um sistema linear com duas equações e três incógnitas.

3)

x + 3y + 5z = 10

2x – 7y  + 4z = 8

x + 2y + z = 20

Esse é um sistema linear com três equações e três incógnitas.

4)

2x+ 3 y + z + w = 36

x +4 y +3z + 2w = 22

2x + y  + 5z  - 3w =  20

Esse é um sistema linear com três equações e quatro incógnitas.

Solução de um sistema linear

Quando ( alfa1, alfa2, alfa3, ... alfan ) é solução de cada uma das equações do sistema, dizemos que ( alfa1, alfa2, alfa3, ... alfan ) é solução do sistema linear.

Veja :

1)    4 e 1 é solução do sistema

2x + 3y = 11

5x – 4y = 16

, pois

2.4 +3.1 = 11

5.4 – 4.1 = 16

2)    3 e 2 é solução do sistema

4x + 2y = 16

3x – 2y = 5

, pois

4.3 + 2.2 =16

3.3 – 2.2 =5

3)    1, 2 e 3 é solução dos sistema

x + 3y + 2z = 13

2x – y – 2z = -6

x – y + z = 2

, pois 

1 + 3.2 + 2.3 = 13

2.1 – 2 – 2.3 = -6

1 – 2 + 3 = 2

4)    X=2 e y=3 não é solução do sistema

3x + 6y = 23

2x – 3y = -8

, pois

3.2 + 6.3 = 23

2.2 – 3.3 = -5

Classificação de um sistema linear

Todo sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções apresentadas.

(SPD)  Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução.

(SPI ) Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções.

(SI) Sistema Impossível – não possui solução.

Por : Dan. S.