Conta ai
logaritmos
Você já pensou ter que fazer cálculos do tipo 3,25694 * 1,78090 ou
3,25694 : 1,78090 no século XVI. Quanto tempo era necessário para fazer esses
cálculos? Provavelmente era uma tarefa muito trabalhosa. Para tornar cálculos
desse tipo menos trabalhosos, o escocês John Napier criou os logaritmos. No
entanto, hoje em dia, com as calculadoras eletrônicas, multiplicar, dividir,
calcular potências e extrair raízes não é difícil. Mais há cerca de 400 anos
atras, multiplicar, dividir, calcular potências e extrair raízes eram tarefas
difíceis, que eram feitas a partir de senos.
Para compreender o que é logaritmo:
Através dos logaritmos, o cálculo das equações exponenciais foi
extremamente facilitados, quando as bases não podiam ser facilmente igualadas.
Exemplo:
temos:
10x = 2
“ Como achar o valor de x ?
Tento igualar as bases! mais 2 elevado a quanto é
igual a 10?
-Não conseguimos fazer isso de forma direta, então o
que nos resta é fazer por tentativas”.
100,5 = 3, 1622
(aproximadamente 3,162, pois 3, 16... vezes ele mesmo é 10)
“Não da”
100,3 = 1, 9952 ( 0,3 é uma potência que se
aproxima do 2; dessa forma iremos descobrir um expoente extremamente próximo de
2)
100,3010 = 2
foi difícil achar esse resultado? na minha opinião sim!
Por esse motivo e outros, surgiu os logaritmos (e algumas tabelas) para
facilitar o cálculo de equações exponenciais com maior complexidade.
Logaritmo é um número, perceba que esse número é um expoente.
O logaritmo de base b, maior que zero e diferente de 1, é uma
função de domínio e imagem, bijetora e contínua que retorna o expoente na
equação bn =
x. Usualmente é escrito
como Logb x
= n.
definição:
x e b são números reais positivos com b diferente de 1. Assim,
chamamos de logaritmo de x na base b o expoente n tal quebn = x.
temos: Logb x = n=> bn = x
nomenclatura
Tabela 1
Forma logarítmica
|
Forma exponencial
|
Loga b = c
c – logaritmo
a – base do logaritmo
b – logaritmando
|
ac = b
b – potência
a – base da potência
c- expoente
|
Exemplo:
1) Log2 4
= x => 2x = 4 =>
x =2
para achar o valor de x usamos as propriedades das equações
exponenciais.
Igualando as bases temos:
2x = 4 => 2x =
22
2) Log2 16
= x => 2x = 16 => x =
4
Para achar o valor de x usamos as propriedades das equações
exponenciais.
Igualando as bases temos:
2x = 16 => 2x = 24
3) Log2 1
= x =>2x = 1 => x = 0
Para achar o valor de x usamos as propriedades das equações
exponenciais.
Igualando as bases temos:
2x = 1 => 2x = 20
4) Log1\2 32 =
x => 1\2x = 32 => x
= -5
Para achar o valor de x usamos as propriedades das equações
exponenciais.
Igualando as bases temos:
(1\2)x = 32=> (1\2)x = (1\2)-5 =>
x = -5
Propriedades operatórias dos
logaritmos:
Primeira propriedade: Produto é igual a soma dos logaritmos.
loga(bc) = loga b+logac
Segunda propriedade: quociente é igual a diferença dos logaritmos.
loga (b\c) = logab – logac
Terceira propriedade: potência é igual ao expoente vezes o logaritmo
Logab = n.logab
quarta propriedade: raiz u-ésima de um número
Loga n√m = 1\n Logam
O sistema de logaritmos decimais (ou
logaritmo de Briggs) e o sistema de logaritmos naturais
destacam-se pelo seu importante papel no campo das Ciências.
logaritmos decimais
O logaritmos de base 10 também são chamados de logaritmos de briggs, por
ter sido inglês henry briggs (1561-1631) foi o primeiro a usar o número 10 para
a construção de tábuas de logaritmos.
notação para os logaritmos decimais:
log10b = logb
log b = x, não é necessidade colocar a base
10.
sistema de logaritmos naturais
são os logaritmos na base e (e é
um número irracional, cujo valor é 2,71828... que recebe o nome de
número de Euler).
notação para os logaritmos naturais:
logeb = lnb
uma relação importante
cologaritmo de um número
O cologaritmo de um número numa base dada é o oposto do logaritmo nessa mesma base.
cologax = - logax
Referência:
MIORIM, M. A.; MIGUEL, A. Os logaritmos na cultura escolar brasileira.
Natal: SBHMat, 2002.
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